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Hallo,
ich habe eben eine Verständnisfrage, die glaube ich, recht einfach zu erklären sein müsste (hoffe ich  ) Nur kann ich es mir gerade selber nicht so erklären.
Ich habe die Aufgabe, alle stetigen Funktionen f:X--> C zu bestimmen, wobei auf X die grobe Topologie ist.
Um stetig zu sein, müssen dir Urbilder offener Mengen ja wieder offen sein. Mögliche Urbilder sind hier die leere Menge und der ganze Raum X, welche beide als Elemente der Topologie offen sind.
Warum sind jetzt nicht alle Abbildungen f stetig, sondern nur die konstanten?
Dankeschön und lieben Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Sa 09.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe eben eine Verständnisfrage, die glaube ich, recht
> einfach zu erklären sein müsste (hoffe ich ) Nur kann
> ich es mir gerade selber nicht so erklären.
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> Ich habe die Aufgabe, alle stetigen Funktionen f:X--> C zu
> bestimmen, wobei auf X die grobe Topologie ist.
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> Um stetig zu sein, müssen dir Urbilder offener Mengen ja
> wieder offen sein. Mögliche Urbilder sind hier die leere
> Menge und der ganze Raum X, welche beide als Elemente der
> Topologie offen sind.
> Warum sind jetzt nicht alle Abbildungen f stetig, sondern
> nur die konstanten?
Angenommen, $f : X [mm] \to \IC$ [/mm] sei nicht konstant. Dann gibt es $x, y [mm] \in [/mm] X$ mit $f(x) [mm] \neq [/mm] f(y)$. Jetzt gibt es eine offene Menge $O [mm] \subseteq \IC$ [/mm] mit $f(x) [mm] \in [/mm] O$, $f(y) [mm] \not\in [/mm] O$ (etwa eine [mm] $\varepsilon$-Kugel [/mm] um $f(x)$ mit Radius [mm] $\frac{1}{2} [/mm] |f(x) - f(y)|$). Dann ist [mm] $f^{-1}(O)$ [/mm] jedoch eine Teilmenge von $X$, die zwar $x$, aber nicht $y$ enthaelt.
Warum kann $f$ jetzt nicht stetig sein?
LG Felix
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