Steigung einer Funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=0,5sin(x)
c) An welchen Stellen besitzt der Graph von f im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] Punkte mit waagerechter Tangente? |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe zuerst die Ableitung der Funktion berechnet, welche wäre: f'(x)= 0,5 cos(x)
Dann habe ich die Ableitung mit 0 gleichgesetzt. Ist das richtig? Ich komme nur auf kein Ergebnis....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Di 21.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=0,5sin(x)
>
> c) An welchen Stellen besitzt der Graph von f im Intervall
> [mm][0;2\pi][/mm] Punkte mit waagerechter Tangente?
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe zuerst
> die Ableitung der Funktion berechnet, welche wäre: f'(x)=
> 0,5 cos(x)
>
> Dann habe ich die Ableitung mit 0 gleichgesetzt. Ist das
> richtig?
Ja
> Ich komme nur auf kein Ergebnis....
f'(x)=0 [mm] \gdw [/mm] cos(x)=0.
Suche also die Nullstellen vom Cosinus im Intervall $ [mm] [0,2\pi] [/mm] $
FRED
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Geht das nur durch Ausprobieren oder kann man die Nullstellen auch rechnerisch bestimmen? Wenn ich probeweise [mm] 0,5\pi [/mm] eingebe, habe ich schon eine Nullstelle.
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> Geht das nur durch Ausprobieren oder kann man die
> Nullstellen auch rechnerisch bestimmen? Wenn ich probeweise
> [mm]0,5\pi[/mm] eingebe, habe ich schon eine Nullstelle.
Naja, die Cosinusfunktion gehört ganz eindeutig zu denjenigen
Funktionen, die man (samt den wesentlichsten Eigenschaften
ihrer Funktionsgraphen) ein Stück weit kennen sollte.
Beispielsweise dieses Bild könntest du auch schon gesehen
haben:
![[]](/images/popup.gif) Sinus- und Cosinusfunktion
LG
Al-Chwarizmi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:07 Di 21.10.2014 | | Autor: | micha20000 |
Ich verstehe leider noch nicht, wie mir das helfen soll... Wie berechne ich die Nullstellen von Sinus und Kosinus rechnerisch?
Ich bin gerade dabei das Ganze zu wiederholen und anscheinend habe ich da so einiges vergessen... Kann mir jemand dabei helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Di 21.10.2014 | | Autor: | micha20000 |
Sorry, ich stand gerade auf'm Schlauch. Hab's verstanden. Vielen Dank nochmal!
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Wenn ich nun für beispielsweise [mm] sin(x)+\pi [/mm] jedoch die Nullstellen bestimmen möchte, wie mache ich das dann?
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> Wenn ich nun für beispielsweise [mm]sin(x)+\pi[/mm] jedoch die
> Nullstellen bestimmen möchte, wie mache ich das dann?
Falls du das so meinst, wie du es schreibst:
Der Term [mm]sin(x)+\pi[/mm] hat gar keine Nullstelle !
Warum ?
Die Gleichung [mm]sin(x)+\pi\ =\ 0[/mm] würde auf [mm]sin(x)\ =\ -\pi[/mm]
führen. Da aber die Sinusfunktion (wie z.B. auch die
Cosinusfunktion) nur Werte im Intervall [-1 ... +1] annehmen
kann und die Zahl [mm] -\pi [/mm] außerhalb dieses Intervalls
liegt, kann diese Gleichung keine (reelle) Lösung haben !
Vielleicht hast du aber stattdessen Folgendes gemeint:
[mm]sin(x+\pi)\ =\ 0[/mm]
Diese Gleichung hat (insgesamt unendlich viele) reelle
Lösungen. Benütze einfach die Substitution [mm](x+\pi) =: u[/mm]
LG , Al-Chw.
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Ich habe nun die Funktion: f(x)= [mm] cos(x+\pi) [/mm] und möchte hier die Nullstellen bestimmen.
Ich habe dafür geguckt, für welche Werte cos(x)=0 wird. Das sind: [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] \bruch{3\pi}{2}. [/mm]
Dann habe ich folgende Gleichungen aufgestellt:
[mm] x+\pi= \bruch{\pi}{2}
[/mm]
<=> [mm] x=-\bruch{1}{2}\pi
[/mm]
und
[mm] x+\pi= \bruch{3\pi}{2}
[/mm]
<=> x= [mm] \bruch{1}{2}\pi
[/mm]
Dann sind die Nullstellen: [mm] (-\bruch{1}{2}\pi [/mm] | 0) und [mm] (\bruch{1}{2}\pi [/mm] | 0). Ist das so richtig?
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> Ich habe nun die Funktion: f(x)= [mm]cos(x+\pi)[/mm] und möchte
> hier die Nullstellen bestimmen.
>
> Ich habe dafür geguckt, für welche Werte cos(x)=0 wird.
> Das sind: [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]\bruch{3\pi}{2}.[/mm]
Hallo,
cos(x) hat noch viel mehr Nullstellen, aber ich gehe davon aus, daß Du Dich für die Nullstellen interessierst, die im Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] liegen, stimmt's?
>
> Dann habe ich folgende Gleichungen aufgestellt:
>
> [mm]x+\pi= \bruch{\pi}{2}[/mm]
> <=> [mm]x=-\bruch{1}{2}\pi[/mm]
>
> und
> [mm]x+\pi= \bruch{3\pi}{2}[/mm]
> <=> x= [mm]\bruch{1}{2}\pi[/mm]
>
> Dann sind die Nullstellen: [mm](-\bruch{1}{2}\pi[/mm] | 0) und
> [mm](\bruch{1}{2}\pi[/mm] | 0). Ist das so richtig?
Das sind Nullstellen der Funktion, wenn auch nicht alle.
Es sind allerdings nicht die Nullstellen der Funktion im Intervall [mm] [0,\2\pi].
[/mm]
Wenn Du diese suchst, mußt Du die [mm] 2\pi-Periodizität [/mm] der Cosinusfunktion nutzen und bekommst aus der ersten von Dir berechneten Nullstelle diejenige im besagten Intervall:
[mm] x=\-\bruch{\pi}{2}+2\pi=\bruch{3}{2}\pi.
[/mm]
Damit hast Du dann die beiden gesuchten Nullstellen.
LG Angela
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Ich habe die Nullstellen im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] gesucht. Dafür wären meine beiden Nullstellen dann richtig, oder?
Was ist die [mm] 2\pi [/mm] Periodizität? Muss ich die hier anwenden, um alle Nullstellen zu berechnen?
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Deine gefundenen Nullstellen waren $ [mm] -\bruch{1}{2}\pi [/mm] $ und $ [mm] +\bruch{1}{2}\pi [/mm] $. Liegt erste im Intervall $ [mm] [0,2\pi] [/mm] $?
Die Antwort ist nein. Um nun die 2. Nullstelle im Intervall $ [mm] [0,2\pi] [/mm] $ zu erhalten, musst du nun deine gefundene Nullstelle $ [mm] -\bruch{1}{2}\pi [/mm] $ in dieses Intervall verschieben, indem du $ [mm] 2\pi$ [/mm] dazuaddierst, da $ sin(x) $ und $ cos(x) $ $ [mm] 2\pi-periodisch$ [/mm] sind.
Als Alternative hätttest du dir auch überlegen können, wie man $ [mm] cos(x+\pi) [/mm] $ noch schreiben könnte. Dazu müsste man den Zusammenhang zwischen $ cos(x) $ und $ sin(x) $ kennen. Und genau diese Kenntnisse der Eigenschaften der Trigonometrischen Funktionen wollte dir Al-Chwarizmi in seiner ersten Antwort auf deine Frage (*Link*) nahe legen.
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Okay. Nur um sicher zu gehen, dass ich das richtig verstanden habe: Lässt sich [mm] 2\pi [/mm] immer addieren, wenn man eine Nullstelle nicht im gesuchten Intervall gefunden hat bzw. muss es immer [mm] 2\pi [/mm] sein?
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Nein, das kann man nicht so pauschal sagen. Du musst schauen, welche Periode die Funktion hat. Es langt dann, wenn du alle Nullstellen innerhalb einer Periode findest, um alle anderen Nullstellen zu bestimmen, indem du $ k*T $ dazu addierst, wobei $ k [mm] \in \IZ [/mm] $ und $ T $ die Periodenlänge ist. Die Periodenlänge für die Funktion $ cos(x) $ ist $ [mm] 2\pi [/mm] $, daher musstest du hier [mm] $1*2\pi$ [/mm] dazuaddieren, um in dein Intervall zu kommen.
Es gibt aber auch Sinus- und Cosinusfunktionen mit anderer Periodizität, beispielsweise $ cos(3x) $. Hier ist die Periodenlänge $ [mm] 2/3\pi$.
[/mm]
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Aber hat die Funktion [mm] sin(x+\pi) [/mm] nicht die Periodenlänge [mm] 2\pi?
[/mm]
Wenn die Periodenlänge [mm] 2\pi [/mm] : b ist, und b in diesem Fall 1, dann ist die Periodenlänge doch [mm] 2\pi [/mm] und ich könnte die [mm] 2\pi [/mm] zu meiner einen Nullstelle [mm] -\pi [/mm] addieren, welche nicht im gewünschten Intervall liegt...
In den Lösungen steht aber, dass [mm] 2\pi [/mm] und nicht [mm] \pi [/mm] eine weitere Nullstelle ist, was mache ich falsch?
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> Aber hat die Funktion [mm]sin(x+\pi)[/mm] nicht die Periodenlänge
> [mm]2\pi?[/mm]
Richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn die Periodenlänge [mm]2\pi[/mm] : b ist, und b in diesem Fall
> 1, dann ist die Periodenlänge doch [mm]2\pi[/mm] und ich könnte
> die [mm]2\pi[/mm] zu meiner einen Nullstelle [mm]-\pi[/mm] addieren, welche
> nicht im gewünschten Intervall liegt...
Das passt auch
> In den Lösungen steht aber, dass [mm]2\pi[/mm] und nicht [mm]\pi[/mm] eine
> weitere Nullstelle ist, was mache ich falsch?
Ich denke du hast in die falsche Lösung geschaut. War auch kurzzeitig verwirrt, weil es plötzlich um [mm]sin(x+\pi)[/mm] geht, vorher wars noch [mm]cos(x+\pi)[/mm]. Also ist das jetzt eine andere Teilaufgabe? Zwar ist [mm]sin(x+\pi)[/mm] an der Stelle [mm]2\pi[/mm] gleich Null, aber um diese Nullstelle zu treffen muss [mm]x=\pi[/mm] sein.
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![[]](http://www.briegel-online.de/mathe/m10/sinuscosinus.gif){kind=small}
Sinus- und Cosinusfunktion