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Steckbriefrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Do 18.01.2007
Autor: bende20

Aufgabe
Bestimme den Funktinsterm:
-2, 0 und 1 seien die Nullstellen einer Polynomkurve vom Grad 3 mit dem Ursprung als Wendepunkt.

Ich blick bei solchen Aufgaben einfach nicht durch!
Habs bis hierher geschafft:
x1 = -2,
x2 = 0,
x3 = 1

f(x)= ax³+bx²+cx+d
f'(x)= 3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b


Würd mich freuen, wenn ihr mir helfen vielleicht auch noch Tipps geben könnt, wie ich das nächste Mal derartige Aufgaben selbst meistern kann!! Ich danke für eure Hilfe im Voraus!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Steckbriefrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Do 18.01.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> Bestimme den Funktinsterm:
>  -2, 0 und 1 seien die Nullstellen einer Polynomkurve vom
> Grad 3 mit dem Ursprung als Wendepunkt.

Du suchst eine Funktion dritten Grades, also f(x)=ax³+bx²+cx+d

Also brauchst du vier Bedingungen, weil du vier Variablen hast.

>
> Ich blick bei solchen Aufgaben einfach nicht durch!
> Habs bis hierher geschafft:
>  x1 = -2,
> x2 = 0,
> x3 = 1
>  
> f(x)= ax³+bx²+cx+d
>  f'(x)= 3ax²+2bx+c
>  f''(x)=6ax+2b

Was heisst denn, dass [mm] x_{0} [/mm] eine Nullstelle ist? Richtig, [mm] f(x_{0})=0 [/mm]

Also hast du schonmal drei Bedingungen
I) -8a+4b-2c+d=0
II) a+b+c+d=0
III) 0a+0b+0c+0d=0, also d=0

Bleibt noch die Vierte Bedingung, 0 ist Wendestelle, also gilt f''(0)=0
Also: IIII) 2b=0, was bedeutet b=0

Also hast du folgendes GLS zu lösen:

[mm] \vmat{d=0\\b=0\\-8a-2c=0\\a+c=0} [/mm]
[mm] \gdw\vmat{d=0\\b=0\\-4a=c\\-a=c} [/mm]

Das musst du jetzt noch lösen

>
>
> Würd mich freuen, wenn ihr mir helfen vielleicht auch noch
> Tipps geben könnt, wie ich das nächste Mal derartige
> Aufgaben selbst meistern kann!! Ich danke für eure Hilfe im
> Voraus!

Allgemein gilt:

Ist ein Punkt P(x/y) gegeben, gilt: f(x)=y
ist eine Nullstelle [mm] x_{0}gegeben, [/mm] so gilt [mm] f(x_{0})=0 [/mm]
bei einer Extremstelle [mm] x_{e} [/mm] gilt: [mm] f'(x_{e})=0 [/mm]
Ist die Tangentensteigung m an einer Stelle [mm] x_{t} [/mm] angegeben, gilt: [mm] f'(x_{t})=m [/mm]
bei einer Wendestelle [mm] x_{w}: f''(x_{w})=0 [/mm]

Daraus musst du dir halt die benötigten Angaben herausfiltern.
Noch was: Angenommen, P(1/2) ist Extrempunkt, hast du hieraus zwei Bedingungen.
1) f(1)=2
2) f'(1)=0


Hilft das erstmal weiter?

Marius

Bezug
                
Bezug
Steckbriefrechnung: beanwortet
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Do 18.01.2007
Autor: bende20

Also hab ich hier nur die Nullstellen (-2,1 und 0) eingesetzt

I) -8a+4b-2c+d=0
II) a+b+c+d=0
III) 0a+0b+0c+0d=0, also d=0

Wow! Danke für die schnelle Lösung!! Du hast mich gerettet! Schönen Abend noch!

Bezug
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