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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Eine ganzrationale Funktion 3.Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung,hat ein Maximum bei [mm] x=\wurzel{3} [/mm] und schließt im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt [mm] \bruch{9}{4} [/mm] ein.Um welche Funktion handelt es sich? |
Hallo ^^
Ich habe so eben diese Aufgabe gerechnet,möchte aber nicht ausschließen,dass ich irgendwelche Fehler gemacht habe.Also wäre lieb,wenn jemand drüber schaut.
[mm] Ansatz:f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
Bedingungen: [mm] f'(\wurzel{3} [/mm] )=0 [mm] --->9a+2b*\wurzel{3} [/mm] +c=0
f(0)=0 ----> d=0
Und ich hab mir noch gedacht,dass auch c=0 ist,weil die Funktion ja punktsymmetrisch zum Ursprung ist,daher kann sie ja nicht verschoben sein.
Dann hab ich mal ein Integral aufgestellt:
[mm] 2*\integral_{0}^{\wurzel{3}}{ax^{3}+bx^{2} dx}=[\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx^{3}
[/mm]
Dann hab ich ja [mm] \bruch{9}{4}a+\wurzel{3}*b= \bruch{9}{8}
[/mm]
Das multipliziere ich jetzt mit 2 weil ich ja vor dem Integral *2 stehen hatte.
Dann hab also [mm] \bruch{9}{2}a+2*\wurzel{3}*b= \bruch{9}{4}
[/mm]
So jetzt hab ich also 2 Gleichungen:
[mm] 1.9a+2b*\wurzel{3}=0
[/mm]
[mm] 2.\bruch{9}{2}a+2*\wurzel{3}*b= \bruch{9}{4}
[/mm]
Dann hab ich noch dieses Gleichungssystem gelöst und hab a=2 und b=5,19 raus.
Hab ich das so richtig gerechnet?
lg
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Hallo Mandy_90,
> Eine ganzrationale Funktion 3.Grades ist punktsymmetrisch
> zum Ursprung,hat ein Maximum bei [mm]x=\wurzel{3}[/mm] und schließt
> im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche mit dem
> Inhalt [mm]\bruch{9}{4}[/mm] ein.Um welche Funktion handelt es
> sich?
> Hallo ^^
>
> Ich habe so eben diese Aufgabe gerechnet,möchte aber nicht
> ausschließen,dass ich irgendwelche Fehler gemacht habe.Also
> wäre lieb,wenn jemand drüber schaut.
>
> [mm]Ansatz:f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
> [mm]f'(x)3ax^{2}+2bx+c[/mm]
>
> Bedingungen: [mm]f'(\wurzel{3}[/mm] )=0 [mm]--->9a+2b*\wurzel{3}[/mm] +c=0
>
> f(0)=0 ----> d=0
>
> Und ich hab mir noch gedacht,dass auch c=0 ist,weil die
> Funktion ja punktsymmetrisch zum Ursprung ist,daher kann
> sie ja nicht verschoben sein.
Stelle doch die Bedingung für Punktsymmetrie auf:
[mm]-f\left(x\right)=f\left(-x\right)[/mm]
Hieraus folgt, mit dem Ansatz, daß b=d=0 ist.
Demnach [mm]f\left(x\right)=a*x^{3}+c*x[/mm]
>
> Dann hab ich mal ein Integral aufgestellt:
>
> [mm]2*\integral_{0}^{\wurzel{3}}{ax^{3}+bx^{2} dx}=[\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx^{3}[/mm]
>
>
> Dann hab ich ja [mm]\bruch{9}{4}a+\wurzel{3}*b= \bruch{9}{8}[/mm]
>
> Das multipliziere ich jetzt mit 2 weil ich ja vor dem
> Integral *2 stehen hatte.
> Dann hab also [mm]\bruch{9}{2}a+2*\wurzel{3}*b= \bruch{9}{4}[/mm]
>
> So jetzt hab ich also 2 Gleichungen:
> [mm]1.9a+2b*\wurzel{3}=0[/mm]
>
> [mm]2.\bruch{9}{2}a+2*\wurzel{3}*b= \bruch{9}{4}[/mm]
>
> Dann hab ich noch dieses Gleichungssystem gelöst und hab
> a=2 und b=5,19 raus.
>
>
> Hab ich das so richtig gerechnet?
>
Da die Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] mit der x-Achse im ersten Quadranten
eine bestimmte Fläche einschließt, sind zunächst einmal die
Grenzen des Integral zu bestimmen.
Dies sind gerade die Nullstellen der Funktion im ersten Quadranten.
Aus der Bedingung [mm]f'\left(\wurzel{3}\right)=0[/mm] ergibt sich
eine weitere Bedingung an die Koeffizienten.
>
> lg
>
Gruß
MathePower
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