Statistische Tests mit Würfeln < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Do 01.10.2015 | | Autor: | JoOtt |
| Aufgabe | | Ein Würfel wird 10 mal geworfen, dabei treten die Ergebnisse 1, ..., 5 jeweils einmal, das Ergebnis "6" 5 mal auf. Ist dieser Würfel fair? Verwende verschiedene Teststatistiken |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, die Frage habe ich mir selbst gestellt, da ich in 2 Wochen Staatsexamen in Mathe, darunter eben auch Stochastik mache und ich weiß, dass mein Prüfer gerne realistische Beispiele verwendet.
Meine erste Wahl einer Statistik wäre der [mm] \chi^2 [/mm] Test mit n=10, k=6 bzw [mm] n_1=...=n_5=1, n_6=5, [/mm] bei dem ich am Ende herausbekommen würde, dass [mm] \chi^2=5*\bruch{(1-\bruch{5}{3})^2}{\bruch{5}{3}}+\bruch{(5-\bruch{5}{3})^2}{\bruch{5}{3}}=57 [/mm] ergibt und der Verwerfungsbereich [mm] K\approx[5+2\sqrt{10}, \infty) [/mm] ist, somit würde gelten [mm] \chi^2 \in [/mm] K und somit wird [mm] H_0 [/mm] verworfen und der Würfel ist (wahrscheinlich) nicht fair. Ist das soweit richtig?
Als weiteren Ansatz könnte ich mir auch die Binomialverteilung vorstellen, mit [mm] H_0: p=\bruch{1}{6} [/mm] und [mm] H_A>\bruch{1}{6}. [/mm] Meine Teststatistik T wäre dann ja [mm] Bin(10,\bruch{1}{6}) [/mm] verteilt und für den Verwerfungsbereich muss ich mir anschauen, für welche T [mm] H_A [/mm] zum Signifikanzniveau [mm] \alpha=5% [/mm] verworfen wird. Dazu schaue ich mir an, wie viele P[T=k] ich aufaddieren kann, sodass [mm] \summe [/mm] P[T=k] < [mm] \alpha [/mm] gilt. Dabei komme ich dann darauf, dass [mm] P[T\ge4]<\alpha [/mm] und mit meiner Beobachtung k=5 gilt auch hier, dass mein [mm] T\in [/mm] K und daher [mm] H_0 [/mm] verworfen wird, also der Würfel (wahrscheinlich) nicht fair ist.
Habe ich diese Rechnungen richtig durchgeführt und sind noch andere Tests sinnvoll für diese Fragestellung (Ich kenne noch Poisson-, z-, t-, Wilcoxon und Vorzeichentest)?
Vielen Dank, auch gerne nur für eine kurze Bestätigung, dass mein Gedankengang soweit richtig war :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Fr 02.10.2015 | | Autor: | luis52 |
Moin JoOtt, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, die Frage habe ich mir selbst gestellt, da ich in 2
> Wochen Staatsexamen in Mathe, darunter eben auch Stochastik
> mache und ich weiß, dass mein Prüfer gerne realistische
> Beispiele verwendet.
Naja ...
>
> Meine erste Wahl einer Statistik wäre der [mm]\chi^2[/mm] Test mit
> n=10, k=6 bzw [mm]n_1=...=n_5=1, n_6=5,[/mm] bei dem ich am Ende
> herausbekommen würde, dass
> [mm]\chi^2=5*\bruch{(1-\bruch{5}{3})^2}{\bruch{5}{3}}+\bruch{(5-\bruch{5}{3})^2}{\bruch{5}{3}}=57[/mm]
> ergibt und der Verwerfungsbereich [mm]K\approx[5+2\sqrt{10}, \infty)[/mm]
> ist, somit würde gelten [mm]\chi^2 \in[/mm] K und somit wird [mm]H_0[/mm]
> verworfen und der Würfel ist (wahrscheinlich) nicht fair.
> Ist das soweit richtig?
Vermutlich nicht. Bedenke: Die Pruefgroesse ist diskret verteilt, ihre Verteilung wird durch eine stetige Verteilung approximiert. Diese gilt als kaum verwendbar in Faellen wie in deinem Beispiel.
>
> Als weiteren Ansatz könnte ich mir auch die
> Binomialverteilung vorstellen, mit [mm]H_0: p=\bruch{1}{6}[/mm] und
> [mm]H_A>\bruch{1}{6}.[/mm] Meine Teststatistik T wäre dann ja
> [mm]Bin(10,\bruch{1}{6})[/mm] verteilt und für den
> Verwerfungsbereich muss ich mir anschauen, für welche T
> [mm]H_A[/mm] zum Signifikanzniveau [mm]\alpha=5%[/mm] verworfen wird. Dazu
> schaue ich mir an, wie viele P[T=k] ich aufaddieren kann,
> sodass [mm]\summe[/mm] P[T=k] < [mm]\alpha[/mm] gilt. Dabei komme ich dann
> darauf, dass [mm]P[T\ge4]<\alpha[/mm] und mit meiner Beobachtung k=5
> gilt auch hier, dass mein [mm]T\in[/mm] K und daher [mm]H_0[/mm] verworfen
> wird, also der Würfel (wahrscheinlich) nicht fair ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr viel besser.
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> Habe ich diese Rechnungen richtig durchgeführt und sind
> noch andere Tests sinnvoll für diese Fragestellung (Ich
> kenne noch Poisson-, z-, t-, Wilcoxon und Vorzeichentest)?
Hier nicht anwendbar.
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