Statistische Irrtümer < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 11.04.2008 | | Autor: | martin59 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für einen Vortrag über trügerische Erfolge bei der Betätigung am Finanzmarkt möchte ich aufzeigen, wie hoch die Chancen bei genügend grosser Anzahl Personen ist, richtig zu liegen (Selbstüberschätzung).
Folgt Teil des Vortrags:
"Wenn wir Gewinn gemacht haben - wer sagt uns, daß nicht Kamerad Zufall auf unserer Seite war? - Lassen wir gedanklich an einer mittleren Schule mit 256 Schülern ein Projekt starten. Jede Woche soll jeder Schüler angeben, ob der Dollar in der kommenden Woche steigt oder fällt. Wer daneben liegt, scheidet aus. Statistisch sind nach 8 Wochen 255 Schüler ausgeschieden, einer bleibt im Rennen, weil er 8x hintereinander richtig gelegen hat. Würden Sie diesen in die Devisenhandelsabteilung ihrer Bank einstellen?"
Formel hierzu 256 * [mm] (1/2)^8 [/mm] also 1
das ist ja noch einfach
Aber ich will noch einen 'drauflegen. Wenn man nun die Latte niedriger hängt:
"Eine Variante des Tests - alle machen bis zum Schluß mit. Mindestens 6x von 8x, also in mindestens ¾ der Fälle richtig gelegen haben immerhin 7 Schüler - immer noch eine gute Qualifikation. Oder?"
Meine Formel:
256 * [mm] (1/2)^6 [/mm] plus 256 * [mm] (1/2)^7 [/mm] plus 256 * [mm] (1/2)^8 [/mm]
4+1+2
macht 7
Richtig? Bevor ich mich blamiere ...
DANKE!
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:56 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Es ist spät bzw. früh, aber ich glaube dem widersprechen zu müssen, denn mir fehlt bei dieser (falschen) Argumentation dann die Siebformel...
[
Anschaulich: die Summe 4+2+1 betrachte "von hinten", damit meine ich beginne mit dem der immer richtig lag.
Dieser jemand taucht als [mm] 256*2^{-8} [/mm] auf, da sind wir uns einig. Den nenne ich jetzt Klaus-Dieter.
[mm] 256*2^{-7} [/mm] sind die, die 7mal Recht hatten, welche sind das? Ich würde doch mal annehmen, Klaus-Dieter und einer, den ich jetzt Franz nenne.
[mm] 256*2^{-6} [/mm] =4 hatten 6 mal die richtige Ahnung, nämlich Klaus-Dieter, Franz und 2 namenlose Individuen,also insgesamt nur 4 oder?^^
AB HIER RICHTIGE LÖSUNG
Konkret musst du hier aber Bernoulli anwenden:
Die Wahrscheinlichkeit, bei 8 versuchen genau k mal richtig zu liegen (wobei deine Treffwahrscheinlichkeit pro Versuch bei [mm] \bruch{1}{2} [/mm] liegt bildet eine Bernoulli-Kette, und du musst über eben diese für [mm] k\in [/mm] {6,7,8}
summieren.
Allgemein ist Bernoulli:
(n Versuche, W'keit für Einzeltreffer sei p)
W'keit für genau k Treffer: [mm] \vektor{n\\k}p^k(1-p)^{n-k}
[/mm]
wobei [mm] \vektor{n\\k} [/mm] den Binomialkoeffizienten bezeichnet.
in deinem Fall ist also [mm] p=1-p=\bruch{1}{2}, [/mm] n=8 und damit
[mm] B(k):=Ber_n(\bruch{1}{2},k)=\vektor{8\\k}\bruch{1}{2^8}
[/mm]
du erwartest dann statistisch dass genau B(k)*256 = [mm] \vektor{8\\k} [/mm] Schüler genau k-mal richtig liegen.
=> 28 Schüler haben GENAU 6mal Recht
8 Schüler haben genau 7 mal Recht
und nur der eine einzelne hat immer, also 8mal die richtige Antwort.
Das ergibt für 37 Schüler eine Trefferquote von mind [mm] \bruch{6}{8}=75%
[/mm]
*auf uhr guck* is echt spät, aber ich bin mir doch ziemlich sicher^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 13.04.2008 | | Autor: | martin59 |
Den ersten Teil kann ich klar nachvollziehen;
Der, der 8 mal recht hatte, hatte natürlich auch 6 und 7 mal recht, entsprechend der eine zustzliche, der 7x Recht hatten, auch 6x; also darf ich die beiden letzten nicht doppelt zählen ... die zwei stecken in den vieren, die 6x Recht hatten, drin
Also insgesamt 4?
Ohne Formeln von hinten: einer hat 8 mal Recht, doppelt so viele haben 7x Recht, wiederum doppelt so viele habe 6x Recht, also 4
Dass nun 37 Schüler 6, 7 oder 8 mal richtig liegen, kann ich durch Überlegen nicht nachvollziehen. Und die Formeln sind für mich so lesbar wie Hieroglyphen 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 13.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Jetzt hast du mich fast verunsichert^^
Du hast am Experiment etwas geändert und diese Änderung unterschätzt, das ist schon richtig wie es unten steht!
Das Problem liegt da:
"- alle machen bis zum Schluß mit."
Jetzt passt dein Modell nicht mehr dass sich die Zahl jede Runde halbiert, sie halbiert sich ja eben nicht mehr. Deshalb musst zu zu Bernoulliketten übergehen.
Um den Unterschied zu lokalisieren: Stell dir vor jemand scheidet in der ersten Variante beim ersten Versuch aus, spielt aber "für sich selber" noch mit, hat ab dann sogar alles richtig - es bringt ihm nichts, raus is raus. Genau die selbe Situation stellt sich aber bei Variante 2 als Trefferquote von 7/8, also als sehr gutes Ergebnis dar. Deshalb kannst du nicht das gleiche Modell benutzen
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