Statistik suffizient? < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mo 19.12.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Gegeben sei eine i.i.d. Stichprobe [mm] $X=(X_1,...,X_n)$ [/mm] eines [mm] $\text{Exp}(\lambda)$ [/mm] - verteilten Merkmals $Y$, [mm] $\lambda>0$.
[/mm]
Zeige, daß die Statistik [mm] $T(\vec X)=\sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] suffizient für [mm] $\lambda$ [/mm] ist.
Sind die Statistiken [mm] $\overline{X}$ [/mm] und [mm] $1/\overline{X}$ [/mm] ebenfalls suffizient? |
Hallo, liebe Vorhelfer- und Vorhelferinnen!
Also der erste Teil ist ja eigentlich nicht schwer, da benutze ich einfach das Neyman-Kriterium bzw. den Faktorisierungssatz:
[mm] $f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}=\underbrace{1}_{=:h(\vec X)}\cdot \underbrace{\lambda^n\cdot e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}}_{=:g(T(\vec X)|\lambda)}$
[/mm]
Schon weiß man, daß $T(X)$ suffizient ist.
Aber was ist mit [mm] $\overline{X}$ [/mm] und [mm] $1/\overline{X}$?
[/mm]
Intuitiv würde ich sagen: Nein, sie sind nicht suffizient, weil die obige Faktorisierung ja zeigt, daß sie in der Faktorisierung nicht vorkommen.
Vllt. könnt Ihr mir hier auf die Sprünge helfen?
Thank you!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mo 19.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Also ich glaube, ich hatte gerade ein Brett vor dem Kopf:
Ich kann's doch einfach so machen:
[mm] $f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}=\lambda^n\cdot e^{-n\lambda\cdot \overline{X}}$ [/mm] und schon sieht man, daß [mm] $\overline{X}$ [/mm] auch suffiziente Statistik ist, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mo 19.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wie kann ich's denn bei $1/\overline{X}$ schreiben?
$f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot e^{-\lambda\cdot \frac{1}{\overline{X}}\cdot \frac{1}{n}\cdot \left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2}$?
Also anders geschrieben, damit man sieht, dass die eine Funktion nur von $\lambda$ und $1/\overline{X}$ abhängt:
$f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot e^{z}$ mit $z=-n\lambda\cdot\left(\frac{1}{\frac{1}{\overline{X}}}\right)^2\cdot\frac{1}{\overline{X}}}$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mo 19.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
direkter so:
$ [mm] f(\vec x|\lambda)=\lambda^n\cdot \exp[-\lambda\cdot \frac{n}{1/\bar X}] [/mm] $.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Mo 19.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Das ist natürlich viel schöner.
Vielen lieben Dank!
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