Statistik: Standardabweichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Do 02.06.2005 | | Autor: | Pida |
Hallo,
ich besuche z.Zt. eine Einführungsveranstaltung zu deskriptiver Statistik. Dabei hat sich mir eine Frage aufgetan, die eigentlich schon beantwortet schien, nämlich:
"Was sagt die Standardabweichung aus?"
Meine Antwort wäre eigentlich (so hab' ich es gelernt und an mehreren Stellen im Netz gefunden):
"Die Standardabweichung gibt die durchschnittliche Abweichung der Messpunkte vom Mittelwert an."
Aber jetzt ist mir aufgefallen: Genau das tut doch die average deviation (Summe der Abweichungsbeträge / n)!
Mir ist klar, dass die Standardabweichung noch weiter interpretiert werden kann; ich frage mich nur, wie zwei doch offensichtlich unterschiedliche Werte beide als "durchschnittliche Abweichung der Messpunkte vom Mittelwert" interpretiert werden können (wobei mir diese Interpretation bei der AD einleuchtet; dadurch ist sie schließlich definiert!)
Weiß jemand Rat?
Vielen Dank, Pida
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Fr 03.06.2005 | | Autor: | andibar |
Hallo Pida!
Die Standardabweichung ist ein leicht kommunizierbares Streuungsmaß, weil es einen Streuungswert in der Größenordnung der ursprünglichen Messwerte darstellt. Es sollte aber nicht - fälschlich vereinfachend - einfach als die "durchschnittliche Abweichung der Messwerte von ihrem Mittelwert" misinterpretiert werden.
Die Aussage, dass es sich hierbei ebenfalls (wie bei der AD) um die "durchschnittliche Abweichung der Messwerte von ihrem Mittelwert" handele ist also strenggenommen schlicht falsch. Zumindest muss man dabei sagen, dass diese Abweichungen hier nicht einfach betragsmäßig zu verstehen sind, sondern auf andere Art und Weise berechnet wurden.
Diese durchschnittliche Abweichung der Messwerte von ihrem Mittelwert läßt sich nur durch die Average Deviation ausdrücken.
Die große Verbreitung, eigentlich die fast ausschließliche Verwendung, ist auf die Funktion der Standardabweichung in der schließenden Statistik zurückzuführen, in der die Standardabweichung ein wesentlicher Bestandteil vieler Formeln und statistischer Verfahren ist.
Außerdem würde ich noch folgendes zu Bedenken geben: Die Standardabweichung ist als Streuungsmaß sinnvoll, da sie auf quadratischen Abweichungen vom Mittelwert beruht (Wurzel aus der Varianz) wenn mit dem arithmetischen Mittel gerechnet wird. Das aber geht nur bei mindestens intervallskalierten Daten.
Die absoluten Abweichungen kann man auch vom Median berechnen, dieser minimiert ja gerade die absoluten Abweichungen von sich.
Interessant ist zudem, dass sich mit quadratischen Abweichungen einfach mit viel weniger Aufwand rechnen lässt, und sich viele einfache Beziehungen ergeben, die sich bei Verwendung absoluter Abweichungen sehr viel komplizierter darstellen lassen. Da sich die Anfänge der sozialwissenschaftlichen (und auch sonstigen) Statistik im nicht-computerisierten Zeitalter befinden, ist auch darin ein Grund für die weite Verbreitung der Standardabweichung zu sehen. 
Ich hoffe, dass Dir diese Antwort etwas weiterhilft...
Schöne Grüße
Andibar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Pida |
Hallo Andibar,
Danke für deine Antwort. Interessanterweise wird tatsächlich an vielen Stellen (grade habe ich z.B. noch eine entsprechende Aussage auf der Homepage zu einer Uni-Veranstaltung gefunden) das Gegenteil behauptet.
Jetzt wär nur noch schön zu wissen, warum
- Quadrieren, Summe bilden, durch n teilen, Wurzel ziehen bzw.
- Summe der Beträge bilden, durch n teilen
zu anderen Ergebnissen führt.
Ich vermute mal, es liegt daran, dass sich Quadrieren und Wurzel ziehen auf unterschiedlich große Werte unterschiedl. stark auswirken - wird die Wurzel aus 1 gezogen, wird der Wert um 0% größer oder kleiner, bei "Wurzel aus 100" weicht das Ergebnis um 90% vom Ausgangswert ab.
Stimmt das so bzw. kann man das noch genauer sagen?
Vielen Dank & Gruß, Oliver
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Oliver!
Du willst also wissen, warum
[mm] $\frac{1}{n} (|x_1| [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] |x_n|) \ne \frac{1}{n} \sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2}$
[/mm]
ist, also:
[mm] $|x_1| [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] |x_n| \ne \sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2}$ [/mm] ?
Nun ja, quadriere doch einmal beide Seiten.
Dann siehst du, dass auf beiden Seiten [mm] $x_1^2+ \ldots [/mm] + [mm] x_n^2$ [/mm] vorkommt. Aber auf der rechten Seite kommen noch die "gemischten Terme":
[mm] $2|x_1||x_2| [/mm] + [mm] 2|x_1||x_3| [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] 2|x_1||x_n| [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] 2|x_n||x_{n-1}|$
[/mm]
hinzu...
Viele Grüße
Julius
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