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Hallo.
Hier hab ich echt Ansatzschwierigkeiten. Das ist echt schon höhere Mathematik. Kann mir jemand helfen??
Berechnen Sie den Mittelwert <x> und die Varianz <(x-<x>)²> der Poissonverteilung
P(x)= (e-mü*müx)/ x!
Hinweis: Nutzen Sie dabei die momentan-erzeugende Funktion
G(t) = Summe etx*P(x),
mit der gilt:
<x> = (dG(t=0))/dt und
<x> = (d²G(t=0))/dt²
Bitte helft mir weiter!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 So 06.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Björn!
Die Poisson-Verteilung nimmt Werte in der Menge [mm] $\IN_0$ [/mm] der natürlichen Zahlen mit $0$ an. Ist $X$ Poisson-verteilt mit Parameter [mm] $\mu>0$, [/mm] so gilt für alle $k [mm] \in \IN_0$:
[/mm]
$P(X=k) = [mm] e^{-\mu} \cdot \frac{\mu^k}{k!}$.
[/mm]
Nun gilt für die erzeugende Funktion [mm] $G_X(t)$ [/mm] von $X$:
(1) [mm] $G_X(t) [/mm] = [mm] E[e^{tX}]$.
[/mm]
Aus der erzeugenden Funktion können wir den Erwartungswert $E[X]$ und die Varianz $Var[X]$ wie folgt zurückgewinnen:
(2) $E[X] = [mm] \frac{dG}{dt} \vert_{t =0}$,
[/mm]
(3) [mm] $E[X^2] [/mm] = [mm] \frac{d^2G}{dt^2}\vert_{t=0}$.
[/mm]
(4) $Var[X] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] (E[X])^2$.
[/mm]
So, nun berechnen wir zunächst einmal (1):
[mm]G_X(t) = E[e^{tX}][/mm]
[mm]= \sum\limits_{k=}^{\infty} e^{tk} \cdot e^{-\mu} \cdot \frac{\mu^k}{k!}[/mm]
[mm]= e^{-\mu} \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} e^{tk} \cdot \frac{\mu^k}{k!}[/mm]
[mm]= e^{-\mu} \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(e^t \mu)^k}{k!}[/mm]
[mm]=e^{-\mu} \cdot e^{e^t\mu}[/mm]
[mm]=e^{\mu \cdot (e^t-1)}[/mm].
Gut, nun ist der Rest einfach:
Du musst nur [mm] $G_X(t)$ [/mm] zweimal ableiten, dann in die beiden Ableitungen $t=0$ einsetzen und dann die Beziehungen (2)-(4) aunutzen, um den Erwartungswert und die Varianz von $X$ auszurechnen.
Melde dich bitte mit einem Lösungsvorschlag oder weiteren Fragen. 
Liebe Grüße
Stefan
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sind die Ableitungen:
G'(t)= t*emü(t*et-1)
G''(t)=t²*emü*(t²*et-1)
???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 So 06.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Björn!
> sind die Ableitungen:
> G'(t)= t*emü(t*et-1)
> G''(t)=t²*emü*(t²*et-1)
> ???
Nein. Wie kommst du z.B. auf das $t$ am Amfang? Kannst du sie mir mal Schritt für Schritt vorrechnen, dann sage ich dir, wo dein Fehler liegt.
Liebe Grüße
Stefan
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ok, in Ableitunge war ich nie der Hit.
Ich dachte: Ich muss nach t ableiten.
Gegeben ist G(t)= e-mü* e mü*e^t
die Ableitung von et ist doch t* et oder??
und daher komm ich darauf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Björn!
> ok, in Ableitunge war ich nie der Hit.
Hmmmh... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Ich dachte: Ich muss nach t ableiten.
Das stimmt ja auch.
> Gegeben ist G(t)= e-mü* e mü*e^t
> die Ableitung von et ist doch t* et
> oder??
Nein. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion. Wenn du damit Probleme hast, musst du die aber dringend aufarbeiten.
Es gilt:
[mm]E[X] = \frac{dG}{dt}\vert_{t=0} = \left[\mu e^t \cdot e^{\mu \cdot (e^t-1)} \right] \, \big\vert_{t=0} =\mu[/mm],
[mm]E[X^2] = \frac{d^2 G}{dt^2}\vert_{t=0} = \left[\mu e^t \cdot e^{\mu(e^t-1)} + \left(\mu e^t\right)^2 e^{\mu (e^t-1)} \right] \, \big\vert_{t=0} = \mu + \mu^2[/mm]
und damit:
[mm]Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \mu + \mu^2 - \mu^2 = \mu[/mm].
Liebe Grüße
Stefan
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