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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Stationärer Punkt
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Stationärer Punkt: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Do 13.01.2011
Autor: monstre123

Aufgabe
Sei [mm] f(x,y)=3x^{2}-xy+2y^{2}+\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y [/mm]

Zeigen Sie , dass [mm] z\*=\pmat{ 0 \\ 0 } [/mm] ein stabiler stationärer Punkt von z'=-gradient f(z) , [mm] z(0)=z_{0} [/mm] , [mm] z=\pmat{ x(t) \\ y(t) } [/mm] ist (dieser ist sogar der einzige).

Hallo,

ich brauche eine kleine Idee wie ich anfangen könnte.

Danke vielmals.

        
Bezug
Stationärer Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Do 13.01.2011
Autor: fred97


> Sei [mm]f(x,y)=3x^{2}-xy+2y^{2}+\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm]
>  
> Zeigen Sie , dass [mm]z\*=\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm] ein stabiler
> stationärer Punkt von z'=-gradient f(z) , [mm]z(0)=z_{0}[/mm] ,
> [mm]z=\pmat{ x(t) \\ y(t) }[/mm] ist (dieser ist sogar der
> einzige).
>  Hallo,
>  
> ich brauche eine kleine Idee wie ich anfangen könnte.

ich würde so anfangen: Definitionen raussuchen und aufschreiben. Mach das mal.

FRED

>  
> Danke vielmals.


Bezug
                
Bezug
Stationärer Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Fr 14.01.2011
Autor: monstre123

Ist [mm] f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y [/mm] nach x abgeleitet folgendes:

[mm] f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y [/mm]  ?

Bezug
                        
Bezug
Stationärer Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Fr 14.01.2011
Autor: fred97


> Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> folgendes:
>  
> [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?

Nein. leite mal zunächst [mm] (sin(x))^2 [/mm] nach x ab .

FRED


Bezug
                                
Bezug
Stationärer Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 Fr 14.01.2011
Autor: monstre123


> > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > folgendes:
>  >  
> > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
>
> Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .

also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)

korrekt?


Bezug
                                        
Bezug
Stationärer Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Fr 14.01.2011
Autor: fred97


> > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > folgendes:
>  >  >  
> > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
> >
> > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
>  
> also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
>
> korrekt?

Nein. Für die Ableitung von   [mm] (sin(x))^2 [/mm]  bemühe die Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.

FRED

>  


Bezug
                                                
Bezug
Stationärer Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Fr 14.01.2011
Autor: monstre123


> > > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > > folgendes:
>  >  >  >  
> > > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
> > >
> > > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
>  >  
> > also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
> >
> > korrekt?
>  
> Nein. Für die Ableitung von   [mm](sin(x))^2[/mm]  bemühe die
> Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im
> Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
>  

ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt. normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten runterschreibt und den Exponenten danach um eins erniedrigt:
[mm] sin^{2}(x)=2sin(x) [/mm]
als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja x ist:
2*sin(x)=2*sin(x)*1
und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch ist...hmmm...

naja, dann mache ich es eben auf die billige art:

[mm] f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x) [/mm]

f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)

korrekt?^^

wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm] sin^{5}(x) [/mm] hätte?


P.S.: Fred just chill, man. ich hoffe, dass du kein lehrer bist ;)

Bezug
                                                        
Bezug
Stationärer Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Fr 14.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo monstre,



>
> ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> erniedrigt:
> [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
>  als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja x
> ist: [notok]

Die innere Funktion ist doch wohl [mm] $\sin(x)$ [/mm] !!!

Es ist - wie Fred schon schrieb und wie du fortwährend geschmeidig ignorierst - [mm] $\sin^2(x)=\left[\sin(x)\right]^2$ [/mm]

Äußere Funktion [mm] $y^2$, [/mm] innere [mm] $\sin(x)$ [/mm]

>  2*sin(x)=2*sin(x)*1
>  und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> ist...hmmm...

Warum wohl?

>  
> naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
>
> [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>  
> f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>  
> korrekt?^^ [ok]

Vergleiche mal mit dem Ergebnis, das du bei richtiger Anwendung der Kettenregel erhältst ...

>  
> wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?

Umschreiben und Kettenregel: [mm] $g(x)=\sin^5(x)=\left[\sin(x)\right]^5$ [/mm]

Also [mm] $g'(x)=\underbrace{5\cdot{}\left[\sin(x)\right]^{5-1}}_{\text{innere Abl.}}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{\text{innere Abl.}}$ [/mm]

>
>
> P.S.: Fred just chill, man. ich hoffe, dass du kein lehrer
> bist ;)

Wer wollte das heutzutage noch sein??

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                
Bezug
Stationärer Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 Fr 14.01.2011
Autor: fred97


> Hallo monstre,
>  
>
>
> >
> > ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> > normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> > runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> > erniedrigt:
> > [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
>  >  als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja
> x
> > ist: [notok]
>  
> Die innere Funktion ist doch wohl [mm]\sin(x)[/mm] !!!
>  
> Es ist - wie Fred schon schrieb und wie du fortwährend
> geschmeidig ignorierst - [mm]\sin^2(x)=\left[\sin(x)\right]^2[/mm]
>  
> Äußere Funktion [mm]y^2[/mm], innere [mm]\sin(x)[/mm]
>  
> >  2*sin(x)=2*sin(x)*1

>  >  und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> > ist...hmmm...
>  
> Warum wohl?
>  
> >  

> > naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
> >
> > [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>  >  
> > f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>  >  
> > korrekt?^^ [ok]
>  
> Vergleiche mal mit dem Ergebnis, das du bei richtiger
> Anwendung der Kettenregel erhältst ...
>  
> >  

> > wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
>
> Umschreiben und Kettenregel:
> [mm]g(x)=\sin^5(x)=\left[\sin(x)\right]^5[/mm]
>  
> Also
> [mm]g'(x)=\underbrace{5\cdot{}\left[\sin(x)\right]^{5-1}}_{\text{innere Abl.}}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{\text{innere Abl.}}[/mm]
>  
> >
> >
> > P.S.: Fred just chill, man. ich hoffe, dass du kein lehrer
> > bist ;)
>
> Wer wollte das heutzutage noch sein??


Ich kenne viele, die es werden wollen ...

FRED

>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Stationärer Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Fr 14.01.2011
Autor: fred97


> > > > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > > > folgendes:
>  >  >  >  >  
> > > > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
> > > >
> > > > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
>  >  >  
> > > also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
> > >
> > > korrekt?
>  >  
> > Nein. Für die Ableitung von   [mm](sin(x))^2[/mm]  bemühe die
> > Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im
> > Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
>  >  
>
> ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> erniedrigt:
> [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
>  als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja x
> ist:
>  2*sin(x)=2*sin(x)*1
>  und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> ist...hmmm...
>  
> naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
>
> [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>  
> f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>  
> korrekt?^^
>  
> wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
>
>
> P.S.: Fred just chill, man.

...........  man spricht deutsch .... ??

> ich hoffe, dass du kein lehrer
> bist ;)

ich bin Hochschullehrer, Pech gehabt.

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Stationärer Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Fr 14.01.2011
Autor: monstre123


> > > > > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > > > > folgendes:
>  >  >  >  >  >  
> > > > > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
> > > > >
> > > > > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
>  >  >  >  
> > > > also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
> > > >
> > > > korrekt?
>  >  >  
> > > Nein. Für die Ableitung von   [mm](sin(x))^2[/mm]  bemühe die
> > > Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im
> > > Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
>  >  >  
> >
> > ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> > normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> > runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> > erniedrigt:
> > [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
>  >  als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja
> x
> > ist:
>  >  2*sin(x)=2*sin(x)*1
>  >  und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> > ist...hmmm...
>  >  
> > naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
> >
> > [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>  >  
> > f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>  >  
> > korrekt?^^
>  >  
> > wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
> >
> >
> > P.S.: Fred just chill, man.
>
> ...........  man spricht deutsch .... ??
>  
> > ich hoffe, dass du kein lehrer
> > bist ;)
>
> ich bin Hochschullehrer, Pech gehabt.

ist ja der hammer, hätte ich im traum nicht gedacht^^

>  
> FRED
>  


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