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| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R2 mit dem Standardskalarprodukt <.,.>
und dessen assoziierter Norm ||.|| . Sei S die Spiegelung an der x-Achse.
(a) Ist die lineare Abbildung x [mm] \mapsto [/mm] Sx injektiv? Ist sie surjektiv?
(c) Ist S eine orthogonale Abbildung?
(d) Geben Sie die Eigenwerte und jeweils alle zugehorigen Eigenraume von S an. |
Hallo
zu a) normalerweise kann man ja die injektivität zeigen indem z.B. der Kern=0 ist oder det ungleich 0. Aber wie soll man denn das bei dieser aufgabe machen?? ich hab ja nichtmal eine matirx gegeben.
Genauso bei c) und d) . Da könnte man ja zeigen dass die inverse gleich der transponierten matrix = orthogonal aber wie soll man das machen ohne eine matrix? Man könnte auch sagen wenn <.,.> = 0 dann orthogonal aber ich hab ja garkeine vektoren gegeben.
Kann ich mir hier einfach vektoren aus dem r2 aussuchen? denn da gibts ja welche die genau das alles erfüllen...
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> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R2 mit dem
> Standardskalarprodukt <.,.>
> und dessen assoziierter Norm ||.|| . Sei S die
> Spiegelung an der x-Achse.
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> (a) Ist die lineare Abbildung x [mm]\mapsto[/mm] Sx injektiv? Ist
> sie surjektiv?
Na, das ist wohl offensichtlich - oder geht es darum,
die Anschauung und den gesunden Menschenverstand
total auszuschalten ?
(fasse dies nur als eine leise Kritik an der Aufgabenstellung auf !)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Di 16.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R2 mit dem
> Standardskalarprodukt <.,.>
> und dessen assoziierter Norm ||.|| . Sei S die
> Spiegelung an der x-Achse.
>
> (a) Ist die lineare Abbildung x [mm]\mapsto[/mm] Sx injektiv? Ist
> sie surjektiv?
> (c) Ist S eine orthogonale Abbildung?
> (d) Geben Sie die Eigenwerte und jeweils alle zugehorigen
> Eigenraume von S an.
> Hallo
Spiegelung an der x-Achse heißt doch: [mm] S(\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{x \\ -y}
[/mm]
Daran kannst Du sofort KernS = {0} ablesen. S ist also injektiv. Die Surjektivität kriegst Du hoffentlich selbst hin
>
> zu a) normalerweise kann man ja die injektivität zeigen
> indem z.B. der Kern=0 ist oder det ungleich 0. Aber wie
> soll man denn das bei dieser aufgabe machen?? ich hab ja
> nichtmal eine matirx gegeben.
> Genauso bei c) und d) . Da könnte man ja zeigen dass die
> inverse gleich der transponierten matrix = orthogonal
> aber wie soll man das machen ohne eine matrix? Man könnte
> auch sagen wenn <.,.> = 0 dann orthogonal aber ich hab ja
> garkeine vektoren gegeben.
Zu Eigenwerten und Eigenvektoren: diese bestimmt man aus der Gleichung
[mm] S(\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \lambda \vektor{x \\ y}
[/mm]
Wenn Du unbedingt eine Matrix brauchst, bitte schön:
Sei [mm] e_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] e_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Bestimme nun die Abbildungsmatrix von S bezügl. der Basis [mm] {e_1, e_2}
[/mm]
(Zur Kontrolle: [mm] \pmat{ 1 & 0\\ 0 & -1} [/mm] (welche Überaschung!))
FRED
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> Kann ich mir hier einfach vektoren aus dem r2 aussuchen?
> denn da gibts ja welche die genau das alles erfüllen...
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