Standardabweichung, Wendepunkt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Di 15.02.2005 | | Autor: | soest64 |
Hallo, habeFrage zur Normalverteilung.
Warum ist die Standardabweichung der Normalverteilung der Wendepunkt ?
Vielen Dank im voraus für jede Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, soest,
ich muss die Frage - glaube ich - erstmal so formulieren, wie ich sie verstehe:
Du meinst wahrscheinlich die x-Koordinaten der Wendepunkte der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße.
Nun diese Dichtefunktion (für die nicht-standardisierte Normalverteilung) hat den Funktionsterm f(x)= [mm] k*e^{-0,5*(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2}}, [/mm] wobei die Konstante k uns hier nicht interessiert, da wir nur die x-Koordinaten berechnen wollen! (Kannst ja in der Formelsammlung nachlesen, wie groß sie ist!)
Für den WP brauchen wir die 2. Ableitung. Ich hab' sie gleich vereinfacht
(und den beim Nullsetzen uninteressanten Exponenten von e durch (...) ersetzt!) :
f''(x)= [mm] k*\bruch{1}{\sigma^2}*((\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2}-1)*e^{(...)}.
[/mm]
Setzen wir f''(x)=0, können wir auch gleich die Klammer =0 setzen:
[mm] (\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2}-1 [/mm] = 0
Das kann man nach x auflösen, wobei es natürlich 2 Lösungen gibt, nämlich:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \mu \pm \sigma.
[/mm]
Bedeutet: Die x-Koordinaten der WP liegen rechts und links von [mm] \mu, [/mm] jeweils im Abstand [mm] \sigma.
[/mm]
(Hinweis: Kleinere Rechen- oder Tippfehler in den Teilschritten sind nicht auszuschließen!)
mfG!
Zwerglein
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