Standardabweichung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Sa 30.07.2005 | | Autor: | kukonia |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe eine Frage zur Standardabweichung. Wenn man 1 mal würfelt beträgt die Standardabweichung 1,708. Wenn man 10000 mal würfelt, ändert sich dann die Standardabweichung? Wie lautet die Formel dafür?
Vielen Dank.
Kukonia
|
|
| |
|
Hi, kukonia,
Hmmm: Du sagst nicht, was die Zufallsgröße sein soll!
Angenommen, es handelt sich um eine Bernoullikette der Länge n und als Treffer gilt z.B. die Anzahl der gewürfelten Sechsen. Dann gilt Folgendes:
Die Formel für die Standardabweichung einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Trefferwahrscheinlichkeit p lautet:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{npq}
[/mm]
Wenn Du nur 1-mal würfelst, ist n=1 und [mm] p=\bruch{1}{6} [/mm] und folglich die Standardabweichung [mm] \sigma \approx [/mm] 0,373
> ich habe eine Frage zur Standardabweichung. Wenn man 1 mal
> würfelt beträgt die Standardabweichung 1,708.
Ich habe zurückgerechnet und komme auf eine Kettenlänge von n=21; d.h. Du würfelst 21 mal, um zu dieser Standardabweichung zu kommen:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{21*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}} \approx [/mm] 1,7078
> Wenn man
> 10000 mal würfelt, ändert sich dann die Standardabweichung?
Siehe oben: Die Standardabweichung wird größer mit wachsender Kettenlänge n.
Für n = 10.000 ist sie:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{10000*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}} \approx [/mm] 37,27
Sollte die Aufgabe anders gemeint sein, formuliere sie bitte nochmals ausführlicher!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 30.07.2005 | | Autor: | kukonia |
Ja, ich bin mir nicht sicher, es ist so, dass es eigentlich um eine Tschebyscheff ungleichung geht. Zuerst wurde der Erwartungswert berechnet (1*1/6+2*1/6+...+6*1/6)=3,5, dann die Varianz mit (1-3,5)2*1/6+...+(6-3,5)2*1/6. Daraus die Wurzel ergibt dann die Standardabweichung. Wie berechnet sich die Standardabweichung bei 10000 mal würfeln?
Vielen Dank.
Kukonia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Auch wenn die Begründung mit der Bernoulli-Kette jetzt nicht mehr stimmt (denn es handelt sich ja um keine solche), bleibt die Aussage richtig.
Sind nämlich [mm] $X_1,\, X_2,\ldots,X_{10000}$ [/mm] die (unabhängigen) Zufallsvariablen, die den Würfelversuch modellieren, dann gilt (ich vermeide mal das Summenzeichen, da ich nicht weiß, ob du es kennst):
[mm] $\sigma(X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_{10000})$
[/mm]
$= [mm] \sqrt{Var(X_1+ X_2 + \ldots + X_{10000})}$
[/mm]
$= [mm] \sqrt{10000 \cdot \sigma^2}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{10000} \cdot \sigma$,
[/mm]
denn für $n$ unkorrelierte Zufallsvariable [mm] $X_1,X_2,\ldots,X_n$ [/mm] gilt allgemein die Gleichheit von Bienayme:
[mm] $Var(X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n) [/mm] = [mm] Var(X_1) [/mm] + [mm] Var(X_2) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] Var(X_n)$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
