Stammfunktionen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 So 24.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo euch allen,
ich habe unter anderem 2 Funktionen bei denen ich die Stammfunktion angeben muss.
Bei den 2 habe ich mich eine ganze Zeit ausgebissen und ich komme einfach nicht auf die Lösung. Mit einem Programm kann ich diese zwar berechnen, aber der Lösungsweg macht mich zu schaffen. Kann mir jemand helfen?
1.
f(x)= [mm] \bruch{1}{xlnx}
[/mm]
2.
f(x)= [mm] x^3lnx^2
[/mm]
Danke euch !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 So 24.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo euch allen,
>
> ich habe unter anderem 2 Funktionen bei denen ich die
> Stammfunktion angeben muss.
>
> Bei den 2 habe ich mich eine ganze Zeit ausgebissen und ich
> komme einfach nicht auf die Lösung. Mit einem Programm kann
> ich diese zwar berechnen, aber der Lösungsweg macht mich zu
> schaffen. Kann mir jemand helfen?
>
> 1.
> f(x)= [mm]\bruch{1}{xlnx}[/mm]
> 2.
> f(x)= [mm]x^3lnx^2[/mm]
>
Die 2. Aufgabe geht übder die Substitution $ z= [mm] x^2$ [/mm] und dann erhälst du:
[mm]\integral {x z * \ln(z) \cdot \frac{1}{2x} dz} = \frac{1}{2} \integral {z *\ln(z) dz}[/mm]
und das löst du mit partieller Integration indem du [mm] $\ln(z) [/mm] $zu $ [mm] \frac{1}{z}$ [/mm] ableitest usw..
Für die erste Aufgabe überleg ich mir noch was aber wer schneller ist darf gern antworten ^^
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Hi Micha,
kann ich das so machen?
[mm] \integral_{}^{} {x^3 ln(x^2) dx} [/mm] = 2* [mm] \integral_{}^{} {x^3 ln(x) dx}
[/mm]
Partitielle Integration
[mm] u'=x^3 \Rightarrow u=\bruch{1}{4}x^4
[/mm]
v=ln(x) [mm] \Rightarrow v'=\bruch{1}{x}
[/mm]
2* [mm] \integral_{}^{} {x^3 ln(x) dx}
[/mm]
= [mm] 2*[\bruch{1}{4}x^4 [/mm] ln(x)] - 2* [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{4}x^4\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{2}x^4 [/mm] ln(x)] - [mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{} {x^3 dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}x^4 [/mm] ln(x) - [mm] \bruch{1}{8}x^4 [/mm] + C
[mm] =\bruch{1}{2}x^4(ln(x)-\bruch{1}{4}) [/mm] + C
Ich hoffe ich habe mich nicht vertan...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Micha |
> Hi Micha,
>
> kann ich das so machen?
>
> [mm]\integral_{}^{} {x^3 ln(x^2) dx}[/mm] = 2* [mm]\integral_{}^{} {x^3 ln(x) dx}[/mm]
>
> Partitielle Integration
>
> [mm]u'=x^3 \Rightarrow u=\bruch{1}{4}x^4[/mm]
>
> v=ln(x) [mm]\Rightarrow v'=\bruch{1}{x}[/mm]
siehe unten..
>
> 2* [mm]\integral_{}^{} {x^3 ln(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]2*[\bruch{1}{4}x^4[/mm] ln(x)] - 2* [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{4}x^4\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{1}{2}x^4[/mm] ln(x)] - [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{} {x^3 dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}x^4[/mm] ln(x) - [mm]\bruch{1}{8}x^4[/mm] + C
>
> [mm]=\bruch{1}{2}x^4(ln(x)-\bruch{1}{4})[/mm] + C
>
> Ich hoffe ich habe mich nicht vertan...
Warum beginnst du nicht wie vorgeschlagen mit der formalen Substitution $z= [mm] x^2$ [/mm] ? Die partielle Integration geht nämlich m.E. nach so nicht, dass du einmal subtituierst und einmal nicht. oder ich kann den Schritt nicht ganz nachvollziehen.
Erstaunlicherweise kommt das richtige Ergebnis heraus...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:57 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi Micha,
Deine Substitution führt natürlich auch zum Ziel, aber da [mm] $ln(x^2)=2\,ln(x)$ [/mm] ist geht's so wie Iceman das gemacht hat doch auch. So sehr dürfte das Ergebnis nicht überraschen.
Grüße,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:34 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen ...
Meines Erachtens ist diese Substitution von Iceman auch zulässig, es gibt allerdings eine Einschränkung.
Das angewandte  Logarithmusgesetz zu Beginn der Integration ist natürlich nur gültig für $x \ > \ 0$ !!
In der ursprünglichen Form ist der Definitionsbereich größer, nämlich:
[mm] [center]$D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR [/mm] \ [mm] \backslash \{ 0 \}$[/center]
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 So 24.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Iceman!
> [mm]f(x) = \bruch{1}{x*\ln(x)}[/mm]
Auch hier werden wir mit Substitution arbeiten, und zwar:
$z \ := \ [mm] \ln(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ x * dz$
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 24.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo Loddar,
danke für die Hilfe, also ich versuche weiter zu machen:
[mm] \gdw [/mm] dx=x*dz
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{xln(x)} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{z} dz}
[/mm]
=ln(z) = ln(ln(x))
richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Micha |
Achja...
du solltest jeweils die Integrationskonstante C nicht vergessen, wenn du unbestimmte Intgerale ausrechnest!
(Es geht also doch noch etwas richtiger *g)
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Hallo zusammen,
eine Alternative wäre scharfes Hingucken gewesen, um die körpereigene Mustererkennung bei [mm] $\integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{f(x)}}dx=ln(f(x))+C$ [/mm] einrasten zu lassen.
Grüße,
Peter
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