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Stammfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Sa 22.05.2004
Autor: Logan

Wie sieht die Stammfunktion von [mm] f(x)= cos (\bruch{1}{5}x) [/mm] und [mm] f(x)= 4 * sin(\bruch{1}{2}x+6) [/mm] aus?

        
Bezug
Stammfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Sa 22.05.2004
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Wie sieht die Stammfunktion von [mm]f(x)= cos (\bruch{1}{5}x)[/mm]
> und [mm]f(x)= 4 * sin(\bruch{1}{2}x+6)[/mm] aus?

Die Substitutionsregel (Seite 185/186) hattet ihr wahrscheinlich noch nicht, aber es geht diesmal auch ohne.

Und zwar benötigt man nur das Wissen der Stammfunktionen zu
[mm] $f(x)=\cos(x)\ \Rightarrow\ F(x)=\sin(x)$ [/mm] und zu
[mm] $f(x)=\sin(x)\ \Rightarrow\ F(x)=-\cos(x)$ [/mm]

Wenn man dann nämlich "naiv" für [mm] $\cos (\bruch{1}{5}x)$ [/mm] als Stammfunktion [mm] $\sin(\bruch{1}{5}x)$ [/mm] ansetzt, so sieht man durch Ableiten (Kettenregel!), dass dies erst "fast" richtig ist:

[mm] $\left( \sin(\bruch{1}{5}x) \right)'=\bruch{1}{5}*\cos(\bruch{1}{5}x)$ [/mm] Da stört also der führende Bruch [mm] $\bruch{1}{5}$, [/mm] den wir aber so wegbekommen:
[mm] $\left( 5*\sin(\bruch{1}{5}x) \right)'=5*\bruch{1}{5}*\cos(\bruch{1}{5}x)=\cos(\bruch{1}{5}x)$ [/mm]

Also ist die Stammfunktion zu [mm] $f(x)=\cos(\bruch{1}{5}x)$ $F(x)=5*\sin(\bruch{1}{5}x)$. [/mm]

Probier' diesen zweiten Trick doch mal mit der zweiten Funktion.

Viel Erfolg,
Marc


Bezug
                
Bezug
Stammfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Sa 22.05.2004
Autor: Logan

[mm]f(x)=4 * sin(\bruch{1}{2}+6)[/mm]
[mm]F(x)=- 8 * cos (\bruch{1}{2}+6)[/mm]
Ich habe gerade bemerkt, dass wir diese Aufgaben gar nicht üben sollten und auch noch nicht gemacht haben.
Verstanden hab ich das aber.

Bezug
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