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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 So 30.11.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen eine Stammfunktion in [mm] \mathbb{C}^*:=\mathbb{C}\setminus \left\{0\right\} [/mm] besitzen.
(1) [mm] f:\mathbb{C}^*\to \mathbb{C}, f(z):=z^{-2}
[/mm]
(2) [mm] f:\mathbb{C}^*\to \mathbb{C}, g(z):=z^{-1}+z^{-2}
[/mm]
(3) [mm] f:\mathbb{C}^*\to \mathbb{C}, h(z):=z^{-1}\sin [/mm] z |
Hallo zusammen,
die Aufgabe scheint mir recht einfach zu sein, daher bin ich mir etwas unsicher.
Kann ich nicht einfach wie im Reellen verfahren? Also:
(1) [mm] $F=-z^{-1}$, [/mm] denn [mm] $F'=(-1)(-1)z^{-2}=f$
[/mm]
(2) hier kommt es meiner Meinung nach nur auf den ersten Term an. Ich meine, dass man hier einen beliebigen Zweig des komplexen Logarithmus wählen kann, der dann abgeleitet 1/z liefert.
(3) hier fehlt mir noch die entscheidende Idee, vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Mo 01.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen eine
> Stammfunktion in [mm]\mathbb{C}^*:=\mathbb{C}\setminus \left\{0\right\}[/mm]
> besitzen.
>
> (1) [mm]f:\mathbb{C}^*\to \mathbb{C}, f(z):=z^{-2}[/mm]
> (2)
> [mm]f:\mathbb{C}^*\to \mathbb{C}, g(z):=z^{-1}+z^{-2}[/mm]
> (3)
> [mm]f:\mathbb{C}^*\to \mathbb{C}, h(z):=z^{-1}\sin[/mm] z
> Hallo zusammen,
> die Aufgabe scheint mir recht einfach zu sein, daher bin
> ich mir etwas unsicher.
>
> Kann ich nicht einfach wie im Reellen verfahren? Also:
Beachte, dass die Menge [mm]\mathbb{C}\setminus \left\{0\right\}[/mm] kein Sterngebiet ist!
>
> (1) [mm]F=-z^{-1}[/mm], denn [mm]F'=(-1)(-1)z^{-2}=f[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (2) hier kommt es meiner Meinung nach nur auf den ersten
> Term an. Ich meine, dass man hier einen beliebigen Zweig
> des komplexen Logarithmus wählen kann, der dann abgeleitet
> 1/z liefert.
Ein beliebiger Zweig des Logarithmus ist eine lokale Stammfunktion, das ist richtig. Hier ist aber nach einer Stammfunktion auf [mm]\mathbb{C}\setminus \left\{0\right\}[/mm] gefragt. Es gibt keinen Zweig des Logarithmus, der darauf holomorph ist.
> (3) hier fehlt mir noch die entscheidende Idee, vielleicht
> kann mir ja jemand einen Tipp geben.
Tipp: stetige Fortsetzung, hebbare Singularität
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Mo 01.12.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Rainer,
vielen Dank für Deine Hinweise! Bei der letzten Funktion kann ich Dir leider nicht folgen, da wir noch keine Singularitäten besprochen haben. Aber könnte ich nicht auch so argumentieren:
Die Funktion ist stetig in [mm] $\mathbb{C}\setminus \left\{0\right\}$. [/mm] Dann ist doch $f$ integrabel, wenn für jeden geschlossenen Weg [mm] $\gamma$ [/mm] in [mm] $\mathbb{C}\setminus \left\{0\right\}$ [/mm] gilt:
[mm] $\int_{\gamma}f\ d\zeta=0$
[/mm]
Ich sehe leider nur noch nicht, wie ich diese Bedingung überprüfen kann.
Viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Schreib doch mal
[mm] $z^{-1}\sin [/mm] z$
als Potenzreihe !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Mo 01.12.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo,
wenn ich $z$ aus der Potenzreihe rauskürze, erhalte ich
[mm] $\sum_{\nu=0}^{\infty}\frac{(-1)^{\nu}}{(2\nu +1)!}z^{2\nu}$,
[/mm]
was ein wenig an die Potenzreihe für den Kosinus erinnert.
Ausgeschrieben steht dann dort:
[mm] $\sum_{\nu=0}^{\infty}\frac{(-1)^{\nu}}{(2\nu +1)!}z^{2\nu}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\frac{z^6}{7!}+\ldots$
[/mm]
Könnte ich dann nicht einfach die Stammfunktion bilden als:
[mm] $F:=z-\frac{z^3}{3\cdot 3!}+\frac{z^5}{5\cdot 5!}-\frac{z^7}{7\cdot 7!}+\ldots$
[/mm]
Ist das soweit richtig, oder bin ich auf dem Holzweg?
Vielen Dank für Eure Hilfe und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
So ist es richtig !
FRED
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