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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Di 05.06.2012 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\omega=f(z)dx+g(z)dy$ [/mm] eine reell beliebig oft differenzierbare, geschlossene 1-Form und [mm] F(z)=\integral_{0}^{1}{(f(tz)x+g(tz)y) dt}. [/mm] Zeige: [mm] $dF=\omega$. [/mm] |
Hi!
Weiß jemand, wie ich hier anfangen soll?
Ich wollte [mm] \integral_{0}^{1}{(f(tz)x+g(tz)y) dt} [/mm] umschreiben, aber weiß nicht, wie ich weiterkomme.
Sei [mm] f=f_1+if_2, g=g_1+ig_2. [/mm] Dann gilt
[mm] \integral_{0}^{1}{(f(tz)x+g(tz)y) dt}=\integral_{0}^{1}{(f_1(tz)x+g_1(tz)y) dt}+i\integral_{0}^{1}{(f_2(tz)x+g_2(tz)y) dt}. [/mm] Mich stört es jetzt dass $f$ und $g$ von [mm] \mathbb{C} [/mm] und nicht von [mm] \mathbb{R} [/mm] aus kommen. Sonst würde ich einfach Substitution anwenden können. Hat jemand einen Ansatz für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Di 05.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Teufel!
> Sei [mm]\omega=f(z)dx+g(z)dy[/mm] eine geschlossene 1-Form und
> [mm]F(z)=\integral_{0}^{1}{(f(tz)x+g(tz)y) dt}.[/mm] Zeige:
> [mm]dF=\omega[/mm].
> Hi!
>
> Weiß jemand, wie ich hier anfangen soll?
>
> Ich wollte [mm]\integral_{0}^{1}{(f(tz)x+g(tz)y) dt}[/mm]
> umschreiben, aber weiß nicht, wie ich weiterkomme.
>
> Sei [mm]f=f_1+if_2, g=g_1+ig_2.[/mm] Dann gilt
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(f(tz)x+g(tz)y) dt}=\integral_{0}^{1}{(f_1(tz)x+g_1(tz)y) dt}+i\integral_{0}^{1}{(f_2(tz)x+g_2(tz)y) dt}.[/mm]
> Mich stört es jetzt dass [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] von [mm]\mathbb{C}[/mm] und nicht
> von [mm]\mathbb{R}[/mm] aus kommen. Sonst würde ich einfach
> Substitution anwenden können. Hat jemand einen Ansatz für
> mich?
Ich nehme an, $z=x+iy$ ?
Was mir einfällt: [mm] $\omega$ [/mm] ist eine geschlossene Form, also [mm] $d\omega=0$, [/mm] woraus
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} = \bruch{\partial g}{\partial x} [/mm]
folgt.
Sollen f und g holomorph sein oder nicht?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Di 05.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, ich denke, dass z=x+iy sein soll. Ich sehe gerade, dass die Differentialform auch differenzierbar sein soll. Habe das mal im Aufgabentext ergänzt. Aber von komplexer Differenzierbarkeit steht da leider nichts.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 05.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]\omega=f(z)dx+g(z)dy[/mm] eine differenzierbare,
> geschlossene 1-Form und
> [mm]F(z)=\integral_{0}^{1}{(f(tz)x+g(tz)y) dt}.[/mm] Zeige:
> [mm]dF=\omega[/mm].
>
> Hi!
>
> Weiß jemand, wie ich hier anfangen soll?
>
> Ich wollte [mm]\integral_{0}^{1}{(f(tz)x+g(tz)y) dt}[/mm]
> umschreiben, aber weiß nicht, wie ich weiterkomme.
>
> Sei [mm]f=f_1+if_2, g=g_1+ig_2.[/mm] Dann gilt
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(f(tz)x+g(tz)y) dt}=\integral_{0}^{1}{(f_1(tz)x+g_1(tz)y) dt}+i\integral_{0}^{1}{(f_2(tz)x+g_2(tz)y) dt}.[/mm]
> Mich stört es jetzt dass [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] von [mm]\mathbb{C}[/mm] und nicht
> von [mm]\mathbb{R}[/mm] aus kommen. Sonst würde ich einfach
> Substitution anwenden können. Hat jemand einen Ansatz für
> mich?
Noch eine Idee: zieh das Integral per Linearität auseinander und benutze
[mm] dF = \bruch{\partial F}{\partial x} dx +\bruch{\partial F}{\partial y}dy [/mm],
und dann kannst du die partiellen Ableitungen ins Integral ziehen. Allerdings sehe ich noch nicht, wie du damit auf [mm] $\omega$ [/mm] kommst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Do 07.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hm ja, das Problem habe ich auch gerade. Also wenn ich ganz stur anfange (Definition dF, partielle Ableitungen reinziehen), bekomme ich Folgendes:
[mm] $dF=(\integral_{0}^{1}{(f(tz)+x\frac{\partial f}{\partial x}(tz)+y\frac{\partial g}{\partial x}(tz) dt})dx+(\integral_{0}^{1}{(\frac{\partial f}{\partial y}(tz)+g(tz)+y\frac{\partial g}{\partial y}(tz) dt})dy$
[/mm]
Nun muss ich z.B. zeigen, dass [mm] $\integral_{0}^{1}{(f(tz)+x\frac{\partial f}{\partial x}(tz)+y\frac{\partial g}{\partial x}(tz) dt}=f(z)$ [/mm] ist. Ich weiß allerdings nicht, wie ich das machen kann. Ich weiß nur, dass die Gleichheit für z=0 gilt. Nun könnte man beide Seiten partiell nach x bzw. y ableiten und schauen, ob beide Ableitungen gleich sind. Aber irgendwie macht das alles auch nur komplizierter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Do 07.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Teufel!
> Hm ja, das Problem habe ich auch gerade. Also wenn ich ganz
> stur anfange (Definition dF, partielle Ableitungen
> reinziehen), bekomme ich Folgendes:
>
> [mm]dF=(\integral_{0}^{1}{(f(tz)+x\frac{\partial f}{\partial x}(tz)+y\frac{\partial g}{\partial x}(tz) dt})dx+(\integral_{0}^{1}{(\frac{\partial f}{\partial y}(tz)+g(tz)+y\frac{\partial g}{\partial y}(tz) dt})dy[/mm]
Vorsicht, du hast nicht [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(tz)[/mm], sondern
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} \left( f(tz) \right) = t \frac{\partial f}{\partial x}(tz)[/mm] !
> Nun muss ich z.B. zeigen, dass
> [mm]\integral_{0}^{1}{(f(tz)+x\frac{\partial f}{\partial x}(tz)+y\frac{\partial g}{\partial x}(tz) dt}=f(z)[/mm]
> ist. Ich weiß allerdings nicht, wie ich das machen kann.
> Ich weiß nur, dass die Gleichheit für z=0 gilt. Nun
> könnte man beide Seiten partiell nach x bzw. y ableiten
> und schauen, ob beide Ableitungen gleich sind. Aber
> irgendwie macht das alles auch nur komplizierter.
Wie wäre es hiermit: erst einmal ist (da [mm] \omega$ [/mm] geschlossen):
[mm] \frac{\partial g}{\partial x}=-\frac{\partial f}{\partial y} [/mm] .
Dann schreibst du die Ableitungen nach x und y in die Cauchy-Riemann-Ableitungen nach z und [mm] $\bar [/mm] z$ um, außerdem drückst du x durch y und z aus.
Wenn ich micht verechnet habe, ist damit
[mm]\integral_{0}^{1}{(f(tz)+xt\frac{\partial f}{\partial x}(tz)+yt\frac{\partial g}{\partial x}(tz) dt} = \integral_{0}^{1}{(f(tz)+ tz f_z(tz) +t \bar z f_{\bar z}(tz) dt} [/mm] ,
und mit der Kettenregel ist
[mm] \bruch{d}{dt} f(tz) = z f_z(tz)+ \bar z f_{\bar z}(tz) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Do 07.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hallo nochmal!
Ok, ich habe es nun, vielen Dank! Ich konnte den Weg nachvollziehen und bin auch auf [mm] $...=\integral_{0}^{1}{(f(tz)+ tz f_z(tz) +t \bar z f_{\bar z}(tz) dt}$ [/mm] gekommen. Ich habe aber einfach stur $f [mm] \circ \varphi$ [/mm] mit [mm] $\varphi: \IR \to \IR^2, [/mm] t [mm] \mapsto t\vektor{x \\ y}$ [/mm] nach mehrdimensionaler Kettenregel abgeleitet. So konnte ich mir den Zwischenschritt mit dem [mm] zf_z+\bar{z}f_\bar{z} [/mm] sparen.
Am Ende erhalte ich dann was ich will. Vielen Dank nochmal! Das Problem war wohl, dass ich nicht genau wusste, wo ich eigentlich unter dem Integral hin wollte. Nun weiß ich, dass es [mm] \frac{d}{dt}tf(tz) [/mm] war.
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