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Stammfunktion mit arsinh?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 Sa 10.04.2010
Autor: pittster

Wie kommt es, dass  [mm] $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} [/mm] = arsinh(x) + C$ ist. Ich hätte das jetzt mit Substitution bearbeitet und einen algebraischen Ausdruck daraus zu gewinnen.


        
Bezug
Stammfunktion mit arsinh?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Sa 10.04.2010
Autor: abakus


> Wie kommt es, dass  [mm]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = arsinh(x) + C[/mm]
> ist. Ich hätte das jetzt mit Substitution bearbeitet und
> einen algebraischen Ausdruck daraus zu gewinnen.

Na, dann substituiere mal.

Du kannst natürlich auch  [mm]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = arsinh(x) + C[/mm] als eine dir vorliegende Behauptung annehmen  und diese Behauptung durch Ableiten bestätigen. Benötigt wird dafür die Ableitungsregel für das Ableiten von Umkehrfunktionen.
Gruß Abakus

>  


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Stammfunktion mit arsinh?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Sa 10.04.2010
Autor: pittster

Sorry, war eine blöde Frage. Das IST ja die arcsinh-Funktion!

Aber leider habe ich noch einen kleinen Fehler beim Substituieren gemacht und ich komm grad nicht drauf, wo da drt Wurm drin ist.

So bin ich vorgegangen:

[mm] $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx [/mm] = [mm] \int \frac{1}{u} [/mm] du$ mit $u = [mm] \sqrt{x^2+1}$ [/mm]

[mm] $u'=\frac{du}{dx}=\frac{1}2 \cdot \sqrt{x^2+1} \cdot [/mm] 2x= [mm] \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}du=\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}=\sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }$ [/mm]

[mm] $\int \frac{1}{u}du [/mm] = ln(u) +C = ln [mm] \left(\sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }\right) [/mm] + C$

Was habe ich falsch gemacht?

grüße, Dennis


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Stammfunktion mit arsinh?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Sa 10.04.2010
Autor: abakus


> Sorry, war eine blöde Frage. Das IST ja die
> arcsinh-Funktion!
>  
> Aber leider habe ich noch einen kleinen Fehler beim
> Substituieren gemacht und ich komm grad nicht drauf, wo da
> drt Wurm drin ist.
>  
> So bin ich vorgegangen:
>  
> [mm]\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx = \int \frac{1}{u} du[/mm] mit [mm]u = \sqrt{x^2+1}[/mm]
>  
> [mm]u'=\frac{du}{dx}=\frac{1}2 \cdot \sqrt{x^2+1} \cdot 2x= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/mm],
> also
> [mm]dx=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}du=\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}\red{du}=\sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }\red{du}[/mm]
>  
> [mm]\int \frac{1}{u}du = ln(u) +C = ln \left(\sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }\right) + C[/mm]

Zunächst heißt es [mm] \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx [/mm] = [mm] \int \frac{1}{u} [/mm] dx= [mm] \int \frac{1}{u} \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }\red{du}. [/mm]
Damit bekonnst du das x, das du raussubstituieren wolltest, wieder hinein.
Gruß Abakus

>  
> Was habe ich falsch gemacht?
>  
> grüße, Dennis
>  


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Stammfunktion mit arsinh?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Sa 10.04.2010
Autor: pittster

Danke Abakus!

Und wie geht es dann weiter? Kann ich das dann zur Stammfunktion "überführen"? Also $= ln(u) [mm] \cdot \sqrt{1+\frac{1}^{x^2}}$? [/mm] Tut mir leid, aber im Moment bin ich etwas verwirrt...

lg, Dennis


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Stammfunktion mit arsinh?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Sa 10.04.2010
Autor: abakus


> Danke Abakus!
>  
> Und wie geht es dann weiter?

Gar nicht. dein Ansatz war gut germeint, führt aber nicht (jedenfalls nicht ohne weitere aufwändige Substitutionen) zum Ziel.
Verfolge den Hinweis von eXeQteR.
Gruß Abakus

> Kann ich das dann zur
> Stammfunktion "überführen"? Also [mm]= ln(u) \cdot \sqrt{1+\frac{1}^{x^2}}[/mm]?
> Tut mir leid, aber im Moment bin ich etwas verwirrt...
>  
> lg, Dennis
>  


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Stammfunktion mit arsinh?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Sa 10.04.2010
Autor: MontBlanc

Hi,

versuche es mal mit der Substitution x=tan(u) .

danmit kommst du zum ziel :)

lg

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Stammfunktion mit arsinh?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:06 So 11.04.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

noch netter ist hier eigentlich eine andere Substitution. Wenn man die Identitäten für cosh und sinh kennt, dann weißt du, dass aus [mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 [/mm] folgt dass [mm] cosh^2(x)=1+sinh^2(x) [/mm] deshalb kannst du hier auch wunderbar x=sinh(u) subsitutieren, dann ist dx=cosh(u)du das Integral ist also [mm] \integral{du}=u [/mm] u ist bekanntlich arcsinh(x) und schwupps bist du am ziel.

lg

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