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Stammfunktion gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Sa 17.09.2011
Autor: photonendusche

Aufgabe
Löse folgendes Integral  [mm] \integral{\bruch{x^4+3x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)^2}dx} [/mm]

Hat jemand eine Idee wie man an ein solches Integral herangeht?
Substitution?
Ich habe schon probiert es durch Polynomdivision zu vereinfachen, gind aber auch nicht :-(

        
Bezug
Stammfunktion gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Sa 17.09.2011
Autor: angela.h.b.

Hallo,

überzeuge Dich davon, daß -1 keine Nullstelle des Zählers ist, man also nicht kürzen kann, und mach eine Partialbruchzerlegung.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Stammfunktion gesucht: Partialbruchzerlegung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:16 So 18.09.2011
Autor: photonendusche

Ich muss also eine Partíalbruchzerlegung vornehmen:

[mm] \bruch{x^4+3x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)^2}=(\bruch{A}{x+1})+(\bruch{B}{(x^2+1)^2} [/mm]

Dann steht im Zähler : [mm] A(x^2+1)^2+B(x+1) [/mm]
Ausmultipliziert  ergibt sich: [mm] Ax^4+2Ax^2+A+Bx+B [/mm]
beim Koeffizientvergleich führt es dann aber zum falschen Ergebnis :
A=1
2A=3
B=1
A+B=1

Ist der Fehler in der Partialbruchzerlegung?

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 So 18.09.2011
Autor: abakus


> Ich muss also eine Partíalbruchzerlegung vornehmen:
>  
> [mm]\bruch{x^4+3x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)^2}=(\bruch{A}{x+1})+(\bruch{B}{(x^2+1)^2}[/mm]
>  
> Dann steht im Zähler : [mm]A(x^2+1)^2+B(x+1)[/mm]
>  Ausmultipliziert  ergibt sich: [mm]Ax^4+2Ax^2+A+Bx+B[/mm]
>  beim Koeffizientvergleich führt es dann aber zum falschen
> Ergebnis :
>  A=1
>  2A=3
>  B=1
>  A+B=1
>  
> Ist der Fehler in der Partialbruchzerlegung?

Ja.
Du brauchst für die PBZ sowohl einen VBruch mit dem Nenner [mm] (x^2+1)^2 [/mm] (hast du) als auch einen Bruch mit dem Nenner [mm] (x^2+1)^1 [/mm] (hast du nicht).
Gruß Abakus

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Stammfunktion gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 So 18.09.2011
Autor: photonendusche

Ok, ist die Struktur dann so
[mm] \bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x^2+1}+\bruch{C}{(x^2+1)^2} [/mm]

Bezug
                                        
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Stammfunktion gesucht: Komplexe Nullstelle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 So 18.09.2011
Autor: Infinit

Hallo photonendusche,
das ist reine Rumraterei, die Du da machst. Schaue Dir mal in Deinen Unterlagen den Partialbruchansatz an, wenn die Nullstellen des Nenners komplex sind und dies ist ja beim Term [mm] x^2 + 1 [/mm] der Fall.
Viele Grüße,
Infinit  


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Stammfunktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 So 18.09.2011
Autor: photonendusche

Die Existenz einer komplexen Nullstelle war mir bekannt, ich habe den ansatz falsch gemacht.
Das Ergebnis habe ich inzwischen.
Nochmals danke.

Bezug
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