Stammfunktion gesucht < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Huhu, ich suche derzeit die Stammfunktion zu folgender Funktion
[mm] \integral_{ln(1/2)}^{ln(3/2)}{\bruch{e^x+1}{e^2x-e^x-2}dx}
[/mm]
das e^2x im Nenner soll "e hoch 2*x" bedeuten
folgende Überlegung hab ich bereits herausgefunden:
über substitution mit x = lnt folgt ja
[mm] \integral_{ln(1/2)}^{ln(3/2)}{\bruch{t+1}{2t-t-2} dt}
[/mm]
richtig?
So nun wollte ich [mm] \bruch{t+1}{t-2} [/mm] vereinfachen und eine Polynomdivison machen mit
( t + 1 ) : ( t - 2 ) = 1 + [mm] \bruch{3}{t-2}
[/mm]
-( t- 2 )
3
So nun habe ich ja 2 Integrale mit [mm] \integral_{ln(1/2)}^{ln(3/2)}{dt} [/mm] + [mm] 3\integral_{ln(1/2)}^{ln(3/2)}{\bruch{1}{t-2}dt}
[/mm]
Stimmt ?
Naja das ist ja dann im Endeffekt F (x) = t+3ln(t-2) als reine Stammfunktion ( Grenzen einsetzen usw mal nicht beachtet ) und mit t = [mm] e^x [/mm] folgt dann
[mm] e^x+3*ln(e^x-2)
[/mm]
Wenn das bis hierhin stimmt habe ich bei den Grenzen einsetzen nen Fehler gemacht denn bei mir kommt im Taschenrechner bei der Eingabe "Error" raus.
Mfg
|
|
| |
|
Hallo glamcatol,
> Huhu, ich suche derzeit die Stammfunktion zu folgender
> Funktion
> [mm]\integral_{ln(1/2)}^{ln(3/2)}{\bruch{e^x+1}{e^{2x}-e^x-2}dx}[/mm]
>
> das e^2x im Nenner soll "e hoch 2*x" bedeuten
Setze alles, was länger als 1 Zeichen ist in geschweifte Klammern {} (ob Indizes oder Exponenten ...)
>
> folgende Überlegung hab ich bereits herausgefunden:
>
> über substitution mit x = lnt folgt ja
>
> [mm]\integral_{ln(1/2)}^{ln(3/2)}{\bruch{t+1}{2t-t-2} dt}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> richtig?
Nee, zum einen ist mit $x=\ln(t)$ doch $\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}$, also $dx=\frac{1}{t} \ dt}$, zum anderen im Nenner $e^{2x}=\left(e^x\right)^2=\left(e^{\ln(t)}\right)^2=t^2$ ...
Außerdem stimmen die Grenzen nicht. Entweder substituierst du die mit oder rechnest alles ohne Grenzen aus, resubstituierst und benutzt am Ende die "alten" Grenzen
Dein Substitutionsansatz ist aber ok:
$x=\ln(t)$ bzw. $t=e^x\Rightarrow \frac{dt}{dx}=e^x=t\Rightarrow dx=\frac{dt}{t}$
Das mal alles ersetzt, kommst du auf
$\int{\frac{t+1}{t^2-t-2} \ \frac{dt}{t}}=\int{\frac{t+1}{t(t-2)(t+1)} \ dt}$
Rechne mal die NSTen des Nenners $t^2-t-2$ aus ...
Nun weiter mit Partialbruchzerlegung: Ansatz: $\frac{t+1}{t(t-2)(t+1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-2}+\frac{C}{t+1}$ ...
>
> So nun wollte ich [mm]\bruch{t+1}{t-2}[/mm] vereinfachen und eine
> Polynomdivison machen mit
>
> ( t + 1 ) : ( t - 2 ) = 1 + [mm]\bruch{3}{t-2}[/mm]
> -( t- 2 )
> 3
>
> So nun habe ich ja 2 Integrale mit
> [mm]\integral_{ln(1/2)}^{ln(3/2)}{dt}[/mm] +
> [mm]3\integral_{ln(1/2)}^{ln(3/2)}{\bruch{1}{t-2}dt}[/mm]
>
> Stimmt ?
>
> Naja das ist ja dann im Endeffekt F (x) = t+3ln(t-2) als
> reine Stammfunktion ( Grenzen einsetzen usw mal nicht
> beachtet ) und mit t = [mm]e^x[/mm] folgt dann
>
> [mm]e^x+3*ln(e^x-2)[/mm]
>
> Wenn das bis hierhin stimmt habe ich bei den Grenzen
> einsetzen nen Fehler gemacht denn bei mir kommt im
> Taschenrechner bei der Eingabe "Error" raus.
>
>
> Mfg
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Mh ärgerlich im endeffekt der fehler bei [mm] e^{2x} [/mm] gemacht das da nicht 2t , sondern t² rauskommen.
Und dt muss ich auch bilden selbst wenn ich am ende resubstitutieren möchte?
Wenn nicht dann kommt am ende ja ja was anderes raus da ich das [mm] \bruch{1}{t} [/mm] ja nicht mit in den bruch reinziehen würde.
|
|
|
| |
|
Gruß zurück,
> Mh ärgerlich im endeffekt der fehler bei [mm]e^{2x}[/mm] gemacht das
> da nicht 2t , sondern t² rauskommen.
>
> Und dt muss ich auch bilden selbst wenn ich am ende
> resubstitutieren möchte?
Ja, es müssen vor dem Integrationsschritt alle alten Variablen verschwunden sein bzw. in der neuen ausgedrückt sein, das Differential dx auch!
>
> Wenn nicht dann kommt am ende ja ja was anderes raus da ich
> das [mm]\bruch{1}{t}[/mm] ja nicht mit in den bruch reinziehen
> würde.
Eben, dann würde es falsch werden, also schön das dx durch [mm] $\frac{1}{t} [/mm] \ dt$ ausdrücken ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hu,
Also vielen Dank schonmal vorab.
habe nun nach der Partialbruchzerlegung für
A= -1/2 raus fuer B = 1/2 und für C = 0 Raus.
Stammfunktionen bilden ergibt dann
[mm] -\bruch{1}{2}ln(t)+\bruch{1}{2}ln(t-2)
[/mm]
so wenn ich nun t= [mm] e^x [/mm] wieder mache dann kann ich ja meine alten Grenzen nehmen
und habe dann da stehen
[mm] -\bruch{1}{2}ln(e^x)+\bruch{1}{2}ln(e^x-2)
[/mm]
so, wenn ich nun bei der hinteren stammfunktion die grenzen eingebe kommt da error raus da ln(1,5-2) ln(-0,5) wäre z.B und das ist ja nicht definiert.
Dementsprechend betrachte ich einfach mal den ersten Term nur und habe dann da ohne die [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ersteinmal reinzurechen 1,09FE raus
nun mal -1 und das ergaebe ja |-1,09| FE und genau das hab ich per taschenrechner ( kann das integral direkt eingeben) auch raus.
Nur bei mir kommt nun noch die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] wieder mit rein und so leider doch was anderes, zufall oder sind die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hu,
> Also vielen Dank schonmal vorab.
>
> habe nun nach der Partialbruchzerlegung für
>
> A= -1/2 raus fuer B = 1/2 und für C = 0 Raus.
>
> Stammfunktionen bilden ergibt dann
>
> [mm] $-\bruch{1}{2}ln\red{|}t\red{|}+\bruch{1}{2}ln\red{|}t-2\red{|}$
[/mm]
>
> so wenn ich nun t= [mm]e^x[/mm] wieder mache dann kann ich ja meine
> alten Grenzen nehmen
> und habe dann da stehen
> [mm]-\bruch{1}{2}ln(e^x)+\bruch{1}{2}ln(e^x-2)[/mm]
>
> so, wenn ich nun bei der hinteren stammfunktion die grenzen
> eingebe kommt da error raus da ln(1,5-2) ln(-0,5) wäre z.B
> und das ist ja nicht definiert.
>
> Dementsprechend betrachte ich einfach mal den ersten Term
> nur und habe dann da ohne die [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] ersteinmal
> reinzurechen 1,09FE raus
> nun mal -1 und das ergaebe ja |-1,09| FE und genau das
> hab ich per taschenrechner ( kann das integral direkt
> eingeben) auch raus.
> Nur bei mir kommt nun noch die [mm]\bruch{1}{2}[/mm] wieder mit
> rein und so leider doch was anderes, zufall oder sind die
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] falsch?
Nein, es ist alles ok, bis auf die fehlenden Betragstriche
[mm] $\int{\frac{1}{z} \ dz}=\ln|z| [/mm] (+c)$
Dann klappt's auch ...
Vor dem Einsetzen der Grenzen würde ich allerdings die [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ausklammern ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Fr 17.04.2009 | | Autor: | glamcatol |
ach ärgerlich, ok danke dir !
|
|
|
|
