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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Di 31.05.2005 | | Autor: | frodoSN |
Hallo!
ich bearbeite gerade das Mathe Abi LK 2005 von MeckPomm.
ich komme an einer stelle nicht weiter: man muss die Stammfunktion von
f(X) = x*e^(1-0.2x)
bilden.
es geht denke ich über partielle integration aber irgendwie krieg ichs nicht hin.
wäre super wenn mal jemand erklären köntte wie das geht.
danke!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hi, dann werde ich mich mal erbarmen(*g*) und die ganze mal kurz vorrechen.
ok als erste die  partielle integration:
ausgang ist die ableitung f*g
$(f*g)'=f'*g+f*g'$
$\gdw f'*g=(f*g)'-f*g'$
das ganze wird jetzt integriert
$\gdw \integral{f'*g dx}=\integral{(f*g)' dx}-\integral{f*g' dx}$
wobei $ \integral{(f*g)' dx}$ zu $ f*g$ wird
also haben wir als formel für die partielle integration
$\gdw \integral{f'*g dx}=(f*g)-\integral{f*g' dx}$
nun also zu deiner funktion $h=x*e^{1-0.2x}$
jetzt muss man noch $f'$ (achtung man wählt nimmt hier an dass die $h=f'*g$ ist) und $g$ geschickt wählen. wie wir $f'$ wählen ist egal. da wir sowohl $x$ als auch $e^{1-0.2x}$ leicht zu integrieren ist. bei g ist es nicht egal da wir das integral $\integral{f*g' dx}$ ja noch bilden müssen und wenn wir $g=e^{1-0.2x}$ wählen steht da dann immer noch ein integral das nicht schöner aussieht als das vorherige. also wählen wir $f'=e^{1-0.2x}$ und $g=x$.
so folgt dann:
$f=-5*e^{1-0.2x}$
$g'=1$
also für
$\integral{x*e^{1-0.2x} dx}=-5x*e^{1-0.2x}-\integral{e^{1-0.2x dx}+c1}$
$\gdw \integral{x*e^{1-0.2x} dx}=-5x*e^{1-0.2x}-5*{e^{1-0.2x}+c2}$
(die c's sind integrationskonstanten)
$\gdw \integral{x*e^{1-0.2x} dx}=-5*(e^{1-0.2x}*(x+1)+c2}$
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Hallo frodo,
> ich komme an einer stelle nicht weiter: man muss die
> Stammfunktion von
>
> [mm] $f\left( x \right) [/mm] = [mm] x*e^{1-0.2x}$
[/mm]
>
> bilden.
>
> es geht denke ich über partielle integration aber irgendwie
> krieg ichs nicht hin.
Bilde [mm] $f'(x)\!$:
[/mm]
[m]\left[ {xe^{1 - 0.2x} } \right]'\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{Produktregel}}{\text{, danach}} \\
{\text{Kettenregel}}
\end{subarray}} e^{1 - 0.2x} + x\underbrace {\left( { - 0.2} \right)e^{1 - 0.2x} }_{{\text{nach der Kettenregel}}} = e^{1 - 0.2x} - 0.2*xe^{1 - 0.2x}[/m]
Jetzt gilt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung:
[m]\int {\left( {e^{1 - 0.2x} - 0.2*xe^{1 - 0.2x} } \right)} dx = xe^{1 - 0.2x}[/m]
Umformen ergibt:
[m]\begin{gathered}
\int {\left( {e^{1 - 0.2x} - 0.2*xe^{1 - 0.2x} } \right)} dx = \int {e^{1 - 0.2x} } dx - 0.2\int {xe^{1 - 0.2x} } dx = xe^{1 - 0.2x} \hfill \\
\Leftrightarrow \int {xe^{1 - 0.2x} } dx = \frac{{xe^{1 - 0.2x} - \int {e^{1 - 0.2x} } dx}}
{{ - 0.2}} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Jetzt haben wir unser Problem auf die Berechnung von [m]\textstyle\int{e^{1 - 0.2x}\operatorname{d}\!x}[/m] reduziert. Leite nun zuerst ab:
[m]\left[ {e^{1 - 0.2x} } \right]'\mathop = \limits^{{\text{Kettenregel}}} - 0.2e^{1 - 0.2x}[/m]
und integriere dann:
[m]\begin{gathered}
\int {\left( { - 0.2e^{1 - 0.2x} } \right)} dx = e^{1 - 0.2x} \Leftrightarrow \int {e^{1 - 0.2x} } dx = - 5e^{1 - 0.2x} \Rightarrow \int {xe^{1 - 0.2x} } dx = \frac{{xe^{1 - 0.2x} + 5e^{1 - 0.2x} }}
{{ - 0.2}} \hfill \\
= - 5\left( {x + 5} \right)e^{1 - 0.2x} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Hier wurde ausgenutzt, daß [m]\left[ e^x \right]' = e^x[/m] gilt.
Viele Grüße
Karl
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