Stammfunktion best., zweidim. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 So 26.06.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Überprüfen Sie ob die folgenden Funktionen eine Stammfunktion besitzen und geben Sie diese gegebenenfalls an:
(i) [mm] f:\IR+ \times (-\pi/2, \pi/2) [/mm] -> [mm] \IR^2, [/mm] (x, [mm] y)\mapsto (-\frac{tan y}{x^2}+2x y+x^2, \frac{1}{x cos^2 y}+x^2 [/mm] + [mm] y^2)
[/mm]
(ii) [mm] f:\IR^2->\IR^2, [/mm] (x, [mm] y)\mapsto (e^{y}+cos [/mm] x cos y, x [mm] e^{y}+ [/mm] sin x sin y) |
Hi,
meine Aufzeichnungen zur Bestimmung mehrdimensionaler Stammfunktionen sind leider ne mittelschwere Katastrophe, sodass ich einige Probleme mit dieser Aufgabe habe.
Jedenfalls muss für die Existenz einer solchen Stammfunktion (hier) gelten: [mm] df_1/dy=df_2/dx.
[/mm]
Das ist bei (i) mit [mm] df_1/dy=df_2/dx= 2x-1/cos^2(y)x^2 [/mm] der Fall.
Bei (ii) jedoch ergibt sich:
[mm] df_1/dy= e^y-cos(x)sin(y) [/mm] und
[mm] df_2/dx= e^y+cos(x)sin(y)
[/mm]
Damit existiert zu (ii) keine Stammfunktion.
Ist das soweit korrekt?
Wie gehe ich nun die (i) an?
Natürlich muss gelten grad F(x)=f(x).
Wie aber konstruiere ich F nun, sodass das gilt?
Mir liegt hier nur ein Beispiel vor, dass ich ohne jegliche Erklärung nicht wirklich verstehe...
Könnte mir vielleicht jemand erklären wie ich hier vorgehen muss? Eventuell genügt mir auch schon ein Link, wo das dargestellt wird. Selbst konnte ich bisher leider nichts vernünftiges finden.
Viele Dank für eure Mühe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 So 26.06.2011 | | Autor: | UNR8D |
Habe mittlerweile kapiert wie man diese Stammfunktion bilden kann :)
Komme für (i) auf
[mm] F(x)=\bruch{tan y}{x}+x^2y+\bruch{1}{3}y^3+\bruch{1}{3}x^3.
[/mm]
Lässt sich ja einfach überprüfen und sollte passen.
Trotzdem würde ich mich über Bestätigung freuen, dass meine Überlegung zur (ii) auch richtig ist :)
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Hallo UNR8D,
> Habe mittlerweile kapiert wie man diese Stammfunktion
> bilden kann :)
>
> Komme für (i) auf
> [mm]F(x)=\bruch{tan y}{x}+x^2y+\bruch{1}{3}y^3+\bruch{1}{3}x^3.[/mm]
>
> Lässt sich ja einfach überprüfen und sollte passen.
>
Das passt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Trotzdem würde ich mich über Bestätigung freuen, dass
> meine Überlegung zur (ii) auch richtig ist :)
Gruss
MathePower
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Hallo UNR8D,
> Überprüfen Sie ob die folgenden Funktionen eine
> Stammfunktion besitzen und geben Sie diese gegebenenfalls
> an:
> (i) [mm]f:\IR+ \times (-\pi/2, \pi/2)[/mm] -> [mm]\IR^2,[/mm] (x, [mm]y)\mapsto (-\frac{tan y}{x^2}+2x y+x^2, \frac{1}{x cos^2 y}+x^2[/mm]
> + [mm]y^2)[/mm]
>
> (ii) [mm]f:\IR^2->\IR^2,[/mm] (x, [mm]y)\mapsto (e^{y}+cos[/mm] x cos y, x
> [mm]e^{y}+[/mm] sin x sin y)
> Hi,
>
> meine Aufzeichnungen zur Bestimmung mehrdimensionaler
> Stammfunktionen sind leider ne mittelschwere Katastrophe,
> sodass ich einige Probleme mit dieser Aufgabe habe.
>
> Jedenfalls muss für die Existenz einer solchen
> Stammfunktion (hier) gelten: [mm]df_1/dy=df_2/dx.[/mm]
> Das ist bei (i) mit [mm]df_1/dy=df_2/dx= 2x-1/cos^2(y)x^2[/mm] der
> Fall.
> Bei (ii) jedoch ergibt sich:
> [mm]df_1/dy= e^y-cos(x)sin(y)[/mm] und
> [mm]df_2/dx= e^y+cos(x)sin(y)[/mm]
>
> Damit existiert zu (ii) keine Stammfunktion.
> Ist das soweit korrekt?
Ja.
>
> Wie gehe ich nun die (i) an?
> Natürlich muss gelten grad F(x)=f(x).
>
> Wie aber konstruiere ich F nun, sodass das gilt?
> Mir liegt hier nur ein Beispiel vor, dass ich ohne
> jegliche Erklärung nicht wirklich verstehe...
> Könnte mir vielleicht jemand erklären wie ich hier
> vorgehen muss? Eventuell genügt mir auch schon ein Link,
> wo das dargestellt wird. Selbst konnte ich bisher leider
> nichts vernünftiges finden.
>
> Viele Dank für eure Mühe!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Di 28.06.2011 | | Autor: | UNR8D |
Schön, danke :)
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