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Hallo zusammen. Ich habe leider mal eine dringende Frage.
Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Stammfunktion folgender Funktion:
[mm] \bruch{6x-8}{x^2-4x+4}
[/mm]
Ansatz: Ich würde nun die Partialbruchzerlegung durchführen. Hierfür erhalte ich: [mm] \bruch{6x-8}{(x-2)^2}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{(x-2)^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 6x-8=A(x-2)^2+B(x-2)
[/mm]
Ich erkenne allerdings nun schon, dass mich das gnaze wohl in Schwierigkeiten bringt. Entweder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht, oder die Partialbruchzerlegung ist garnicht angebracht. Welche Lösungsansätze habt ihr denn noch so???
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Hallo domenigge135,
> Hallo zusammen. Ich habe leider mal eine dringende Frage.
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> Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Stammfunktion folgender
> Funktion:
> [mm]\bruch{6x-8}{x^2-4x+4}[/mm]
>
> Ansatz: Ich würde nun die Partialbruchzerlegung
> durchführen. Hierfür erhalte ich:
> [mm]\bruch{6x-8}{(x-2)^2}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{(x-2)^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 6x-8=A(x-2)^2+B(x-2)[/mm]
Richtig heißt es: [mm]\Rightarrow 6x-8=A*\left(x-2\right)+B[/mm]
Nun können A und B bestimmt werden.
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> Ich erkenne allerdings nun schon, dass mich das gnaze wohl
> in Schwierigkeiten bringt. Entweder habe ich irgendwo einen
> Fehler gemacht, oder die Partialbruchzerlegung ist garnicht
> angebracht. Welche Lösungsansätze habt ihr denn noch so???
>
Gruß
MathePower
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Aha...
Okay also steht ja dort:
[mm] \bruch{6x-8}{(x-2)^2}=\bruch{A}{(x-2)}+\bruch{B}{(x-2)^2}
[/mm]
Das multipliziere ich nun mit [mm] (x-2)(x-2)^2 [/mm] wenn ich das richtig verstehe. Aber wie führt mich das nun auf dein Ergebnis??? Könntest du mir die Rechnung eventuell vormachen??? Wäre wirklich net.
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Nein Schwachsinn...
Ich multipliziere natürlich nur mit [mm] (x-2)^2.
[/mm]
Sorry... 
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Hallo domenigge135,
> Aha...
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> Okay also steht ja dort:
> [mm]\bruch{6x-8}{(x-2)^2}=\bruch{A}{(x-2)}+\bruch{B}{(x-2)^2}[/mm]
> Das multiplizi ere ich nun mit [mm](x-2)(x-2)^2[/mm] wenn ich das
> richtig verstehe. Aber wie führt mich das nun auf dein
> Ergebnis??? Könntest du mir die Rechnung eventuell
> vormachen??? Wäre wirklich net.
Zunächst einmal ist mit [mm]\left(x-2\right)^2[/mm] durch zu multiplizieren:
[mm]\bruch{6x-8}{(x-2)^2}*\left(x-2\right)^2=\bruch{A}{(x-2)}*\left(x-2\right)^2+\bruch{B}{(x-2)^2}*\left(x-2\right)^2[/mm]
[mm]\gdw \bruch{\left(6x-8\right)*\left(x-2\right)^2}{(x-2)^2}=\bruch{A*\left(x-2\right)^2}{(x-2)}+\bruch{B*\left(x-2\right)^2}{(x-2)^2}[/mm]
[mm]\gdw 6x-8 = A*\left(x-2\right) + B[/mm]
Gruß
MathePower
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Ja hatte ich dann auch noch gemerkt. Mein Fehler. Eine Frage hätte ich allerdings noch. Meine erste Idee wäre gewesen, dass ganz mittels Substitution zu integrieren. Warum sagt in einem solchen Fall die Partialbruchzerlegung eher zu??? Und wann muss ich erkennen, was besser ist zum Anwenden??? Also wann Substitution, wann Partialbruchzerlegeung??? Partialbruchzerlegung nur dann, wenn Nennergrad größer Zählergrad???
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Hallo,
[mm] \bruch{6x-8}{(x-2)^{2}}=\bruch{6}{x-2}+\bruch{4}{(x-2)^{2}}
[/mm]
jetzt hast du einfach zu lösende Integrale, du benötigst hier keine Substitution, das ist ja der Vorteil der Partialbruchzerlegung, im Zähler steht ein Skalar, keine Funktion
Steffi
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> Meine erste Idee wäre
> gewesen, dass ganz mittels Substitution zu integrieren.
> Warum sagt in einem solchen Fall die Partialbruchzerlegung
> eher zu???
Hallo,
lös' das Integral doch mal mit Substitution.
Wenn Du den Nenner substituierst und alles richtig machst, müßtest Du auch zum Ziel kommen.
Du Du ohne Grenzen rechnest, mußt Du am Ende noch resubstituieren.
Wahrscheinlich dauert es länger als die PBZ.
Wenn alles gut läuft, bekommst Du (bis auf eine eventuel addierte Konstante) beide Male dasselbe heraus.
> Und wann muss ich erkennen, was besser ist zum
> Anwenden???
Solche Aufgaben wie die vorliegende, gebrochen rationale Funktionen, bei denen der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, löst man oft mit Partialbruchzerlegung, es sei denn, man sieht sofort, daß der Zähler die Ableitung des Nenners ist.
> Also wann Substitution, wann
> Partialbruchzerlegeung???
Immer so, wie's gut klappt.
Allgemeine Kochrezepte sind da schwer zu geben, je mehr man übt, desto besser weiß man schnell, was zu tun ist.
Aber Irrwege gehören dazu - jedenfalls für mich, die "im Leben" nicht viel zu integrieren hat.
Gruß v. Angela
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