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| Aufgabe | | V1(X)= Pi [mm] *\integral_{0}^{4}{(\bruch{1}{2}X)^2 dx} [/mm] |
Hallo
Ich habe nur eine kurze Frage:
Es geht um die Stammfunktion von der obigen Funktion.
Thema war Volumenberechnung von Rotationskörpern.
Die Ausgangfunktion war f(X)= [mm] \bruch{1}{2}X [/mm] galube ich.
Wie in der Funktion zu sehen wurde die Funktion dann in die Volumenberechnungsformel eingesetzt. Oder ist das [mm] \bruch{1}{2}X [/mm] in [mm] Klammern^2 [/mm] falsch ?
Hieße es [mm] \bruch{1}{2} X^2 [/mm] ?
Angenommen es stimmt, was ich in die Formel eingesetzt habe:
Jetzt zu meiner eigentlichen Frage:
Wie lautet dann davon die Stammfunktion ?
Ich hätte es mit der Kettenregel gemacht:
[mm] \bruch{1}{3}(\bruch{1}{2}X)^3 [/mm] * 2(durch die innere Ableitung teilen)
= [mm] [\bruch{2}{3}(\bruch{1}{2}X)^3]
[/mm]
In meinem Heft steht aber als Stammfunktion:
[mm] [\bruch{1}{12} [/mm] X³]
Ich denke diese Lösung ist falsch, weil nur mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert und nicht geteilt wurde.
Ich liege ja damit richtig, dass man bei der Stammfunktion einer verketteten Funktion, mit der inneren Ableitung dividiert,oder ?
Wie ist das bei einer doppelten Kettenregel, muss ich dann mit den beiden inneren Funktionen, davon jeweils die Ableitung dividieren ?
Vielen Dank für die Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> V1(X)= Pi [mm]*\integral_{0}^{4}{(\bruch{1}{2}X)^2 dx}[/mm]
> Hallo
> Ich habe nur eine kurze Frage:
> Es geht um die Stammfunktion von der obigen Funktion.
>
> Thema war Volumenberechnung von Rotationskörpern.
> Die Ausgangfunktion war f(X)= [mm]\bruch{1}{2}X[/mm] galube ich.
Hallo,
der Glaube reicht hier nicht - man müßte das schon genau wissen.
Nun gut, Du möchtest also das Volumen des Kegels berechnen, welcher bei Rotation der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x [/mm] um die x-Achse entsteht.
(Das Ergebnis solltest Du kennnen, und Du kannst es nutzen, um später Dein Ergebnis auf Richtigkeit zu prüfen.)
>
> Wie in der Funktion zu sehen wurde die Funktion dann in die
> Volumenberechnungsformel eingesetzt. Oder ist das
> [mm]\bruch{1}{2}X[/mm] in [mm]Klammern^2[/mm] falsch ?
Nein, Du machst es völlig richtig.
> Angenommen es stimmt, was ich in die Formel eingesetzt
> habe:
>
> Jetzt zu meiner eigentlichen Frage:
> Wie lautet dann davon die Stammfunktion ?
Wir machen uns das Leben jetzt erstmal etwas leichter:
[mm] V_1(x)= \pi[/mm] [mm]*\integral_{0}^{4}{(\bruch{1}{2}x)^2 dx}[/mm][mm] =\pi[/mm] [mm]*\integral_{0}^{4}{\bruch{1}{4}x^2 dx}[/mm]= [mm] \bruch{\pi}{4}\*integral_0^4x^2dx.
[/mm]
Und die Stammfunktion von [mm] x^2 [/mm] ist leicht, oder?
>
> Ich hätte es mit der Kettenregel gemacht:
Das, was Du tust, funktioniert aber nur bei solchen Funktionen, wo statt x ein Vielfaches von x eingesetzt wird.
Bei anderen Funktionen nicht.
>
> [mm]\bruch{1}{3}(\bruch{1}{2}X)^3[/mm] * 2(durch die innere
> Ableitung teilen)
>
> = [mm][\bruch{2}{3}(\bruch{1}{2}X)^3][/mm]
>
> In meinem Heft steht aber als Stammfunktion:
>
> [mm][\bruch{1}{12}[/mm] X³]
Das ist dasselbe - und Du solltest Dir jetzt mal unter Mobilisierung all dessen, was Du über Potenz- und Bruchrechnen weißt, überlegen, wieso.
Gruß v. Angela
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Danke erstmal
Nein, ich komme leider gerade nicht darauf, wie das dasselbe ist.
Dann wäre meine Lösung ja auch richtig ?!
In diesem Zusammenhang verstehe ich auch deine Aussage nicht ganz:
"Das, was Du tust, funktioniert aber nur bei solchen Funktionen, wo statt x ein Vielfaches von x eingesetzt wird.
Bei anderen Funktionen nicht."
Heißt das, es funktioniert bei Funktionen bei denen de Vorfakor größer als 1 ist, wenn z.b. 5x da stünde ?
Und bei 1X oder 0,5 X funktioniert es nicht ?
ODer ist es nur nicht ratsam ?
Bitte um Aufklärung
lg
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Angela hat für dich [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] rausgezogen und [mm] x^2 [/mm] zum integrieren überlassen, was ja [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] macht, was ja bekanntlich mit 4 multipliziert die Zahl 12 ergibt e voilà, du hast dein Ergebnis. Was angela meinte, ist nicht, dass dein Verfahren, was VIEL zu fehleranfällig und kompliziert ist, bei Vielfachen von x funktionierst, sondern sie meinte, dass es nur bei der Variable a*x mit beliebigem a, also auch 0,5 funktioniert. Hättest du stattdessen jedoch einen vielfachen GRAD, also z.B. [mm] 1/2x^2 [/mm] gehabt, so wärst du mit [mm] $(\bruch{1}{2}x^2)^2$ [/mm] in Probleme gekommen. Klar, das Auflösen der Klammern zu [mm] \bruch{1}{4}x^4 [/mm] ist einfach, aber deine Kettenformel liefert dir hoch 3 durch 3 und dann wäre die innere ableitung x und dadurch zu teilen würde dann sowas ergeben:
[mm] $\bruch{(\bruch{1}{2}x^2)^3}{3x}$
[/mm]
Das sieht zum Ableiten aber wesentlich unschöner aus, denn schon brauchst du die Quotientenregel und igitt! Also tu dir und uns den Gefallen und multipliziere einfach die Klammern am anfang aus ,dann hast du sowas von einfach nur ne [mm] x^4 [/mm] funktion!
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Okay, es ist mir klargeworden, dass es einfacher ist, die Klammer erst auszumultiplizieren.
$ [mm] \bruch{(\bruch{1}{2}x^2)^3}{3x} [/mm] $
Das sieht zum Ableiten aber wesentlich unschöner aus, denn schon brauchst du die Quotientenregel und igitt!
In diesem Fall wäre es ja aber egal, weil man nicht Ableiten braucht ?
Und mein Ergebnis, das ich raushatte war ja auch richtig, nur umständlich,stimmts ?
Also, wenn ich in der Klammer einen Faktor wie (a*X) bei [mm] (a*X)^2 [/mm] habe, dann ist es immer sinnvoll auszumultiplizieren.
Wenn ich jetzt aber z.b. die Stammfunktion von f(x)= [mm] (5X+2)^2
[/mm]
bilden will, ist es nicht sinnvoll auszumultiplizieren, hier wäre doch die Kettenregel viel einfacher ?
Ich suche gerade so ein bisschen nach einer Regel, an der ich festmachen kann, wann ich die Kettenregel verwende, und wann ich ausmultipliziere !
Kann mir jemand bei dieser Frage helfen ?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 So 14.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eigentlich multipliziert man immer aus, weil das Integrieren dann einfacher ist. die Kettenregel zu benutzen führt fast immer zu Fehlern.
Gruss leduart
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Ok und für welche speziellen Fälle brauche ich dann nochmal die Kettenregel ?
Besonders für E-Funktionen ?
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Du brauchst du eigentlich nur beim Ableiten! Die Kettenregel hat mit dem Integrieren an sich nichts zu tun. Nur musst du, wie auch beim Ableiten, so auch beim Integrieren darauf achten, dass manchmal die Integration allein nicht genügt, siehe z.B. trigonometrische Funktionen wie sin(2x). Hier würdest du beim Integrieren erstmal -cos(2x) erhalten, durch das ABLEITEN aber merken, dass ja noch eine innere Ableitung beim Integrieren berücksichtigt werden muss, weshalb die korrekte Stammfunktion -0,5cos(2x)+C lautet. Sowas kannst du natürlich anfänglich berücksichtigen oder durch eine Probe überprüfen, weshalb ich auch oben beim Beispiel auf die schwierige Ableitung hingewiesen habe.
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Danke
Aber um es einfacher zu verstehen, kann man sich das doch so merken, dass man nicht wie beim Ableiten mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert, sondern mit dem Kehrwert ?
Das ist doch nicht grundsätzlich falsch, solange in der inneren Ableitung kein X^irgendwas steht, oder doch ?
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Wir haben dir ja schon gesagt, dass beides zum selben Ergebnis führt, nur ist die Probe wesentlich schwieriger durchzuführen oder es schleichen sich fehler ein. Natürlich kannst du [mm] (e^{3x})^2 [/mm] als [mm] (e^{3x})^3/3 [/mm] auffassen und dir dann überlegen, dass die innere Ableitung [mm] e^{3x} [/mm] ist und du deshalb durch [mm] e^{3x} [/mm] noch teilen musst.
Dann kommt eine zweite innere Ableitung von 3x, die 3 ist. Demzufolge musst du auch noch durch 3 teilen. Warum sollte das falsch sein?!
Einfacher wäre aber die Überlegung, dass es ausmultipliziert [mm] e^{6x} [/mm] ist, weshalb sich beim integrieren eben [mm] e^{6x}/6 [/mm] ergibt.
Dieses Beispiel zeigt schön, dass du dich wirklich unsinnigerweise im Kreis drehst ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 So 14.03.2010 | | Autor: | Stratoward |
Okay, das war ein gutes Beispiel. Ich denke ich habe diese Problematik soweit verstanden^^
Danke dafür !
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