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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Sa 16.04.2011 | | Autor: | kozlak |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm] a^{->}_k=(\integral_{0}^{k}{\bruch{dt}{t^2+2t+1},artan(e^k))} [/mm] |
Hallo,
Habe bei dieser Aufgabe vorallem das Problem, eine Stammfunktion für den ersten Teilterm zu finden. Soll das irgendwie mit dem Logarithmus gehen?Aber wie ?
Würde mich über Hilfe freuen :)
mg,
kozlak
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kozlak und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechnen Sie den Grenzwert der Folge
> [mm]a^{->}_k=(\integral_{0}^{k}{\bruch{dt}{t^2+2t+1},artan(e^k))}[/mm]
> Hallo,
> Habe bei dieser Aufgabe vorallem das Problem, eine
> Stammfunktion für den ersten Teilterm zu finden. Soll das
> irgendwie mit dem Logarithmus gehen?Aber wie ?
Nana, ohne Logarithmus.
Du kannst doch [mm]\frac{1}{t^2+2t+1}[/mm] schreiben als [mm]\frac{1}{(t+1)^2}[/mm]
Und mit der lineraren Substitution [mm]z=z(t)=t+1[/mm] kannst du [mm]\int\limits_{0}^{k}{\frac{1}{(t+1)^2} \ dt} [/mm] zurückführen auf [mm]\int\limits_{1}^{k+1}{\frac{1}{z^2} \ dz}[/mm]
Und das kannst du doch locker lösen, bedenke die Potenzregel: [mm]\int{x^r \ dx}=\frac{1}{r+1}x^{r+1}[/mm] (+c) für alle [mm]r\neq -1[/mm]
Damit sollte die erste Komponente doch zu erschlagen sein ...
>
> Würde mich über Hilfe freuen :)
>
> mg,
> kozlak
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Sa 16.04.2011 | | Autor: | kozlak |
Dankeschön!
Also ich versuch es mal:
> [mm]\int\limits_{0}^{k}{\frac{1}{(t+1)^2} \ dt}[/mm] zurückführen
> auf [mm]\int\limits_{1}^{k+1}{\frac{1}{z^2} \ dz}[/mm]
[mm] [-z^{-1}+ ]^{k+1}_{1}. [/mm] Durch Resubstitution:
[mm] [-(t+1)^{-1}+ ]^{k+1}_{1}=-(\bruch{1}{k+2})+\bruch{1}{2}.
[/mm]
Mit den Integrationsgerenzen habe ich wohl was falsch gemacht, diese müssen wahrscheinlich auch resuptioniert werden.
Dazu hätte ich zu erst einmal eine Frage. WIe kommt man bei der Integrationsgenze von k auf k+1?
mg,
kozlak
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Hallo nochmal,
> Dankeschön!
> Also ich versuch es mal:
>
> > [mm]\int\limits_{0}^{k}{\frac{1}{(t+1)^2} \ dt}[/mm] zurückführen
> > auf [mm]\int\limits_{1}^{k+1}{\frac{1}{z^2} \ dz}[/mm]
>
> [mm][-z^{-1}+ ]^{k+1}_{1}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Durch Resubstitution:
> [mm][-(t+1)^{-1}+ ]^{k+1}_{1}[/mm]
Hier musst du doch die alten Grenzen nehmen!
Also [mm]\big[-(t+1)^{-1}\big]_0^k[/mm]
Und das musst du nochmal schön ausrechnen und vereinfachen ...
> [mm]=-(\bruch{1}{k+2})+\bruch{1}{2}[/mm].
>
> Mit den Integrationsgerenzen habe ich wohl was falsch
> gemacht, diese müssen wahrscheinlich auch resuptioniert
> werden.
> Dazu hätte ich zu erst einmal eine Frage. WIe kommt man
> bei der Integrationsgenze von k auf k+1?
Nun, die alten Grenzen waren:
untere: t=0
obere: t=k
Wenn du nun substituierst mit [mm]z=t+1[/mm], so wird aus [mm]t=0[/mm] doch [mm]z=0+1=1[/mm] als neuer unterer Grenze und analog aus [mm]t=k[/mm] dann [mm]z=t+1=k+1[/mm] als neuer oberer Grenze
>
> mg,
> kozlak
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 16.04.2011 | | Autor: | kozlak |
Super Hilfe!
Also [mm]\big[-(t+1)^{-1}\big]_0^k[/mm][mm] =-\bruch{1}{k+1}+1.
[/mm]
Somit ist der Grenzwert der ersten Teilfolge 0.
Wollte mich an eine ähnliche Aufgabe probieren: [mm] \integral_{1}^{k}{\bruch{dt}{t^2+1}}. [/mm] und habe [mm] z=t^2+1 [/mm] substitioniert. Da kommt aber durch dz=2tdt, nichts vernünftiges raus. mir fällt leider auch nichts besseres ein?
mg,
kozlak
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Hallo kozlak,
manchmal hilft es ja, das Ergebnis zu kennen, so auch hier.
Es ist dann immer noch schwierig genug, einen Weg zu finden.
Es gilt [mm] \int{\bruch{1}{t^2+1}\ dt}=\arctan{t}
[/mm]
Das legt doch schonmal die Vermutung nahe, dass man t am besten durch eine trigonometrische Funktion ersetzt...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 16.04.2011 | | Autor: | kozlak |
Danke für den Hinweis.
Leider gestaltet sich das mir doch einwenig schwierig. Irgendwie muss ich es ja wohl hinbekommen, den Term zu [mm] \bruch{1}{tanx} [/mm] umzuformen?
mg,
kozlak
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Hallo
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{t^{2}+1} dt}
[/mm]
Substitution mit t:=tan(z)
[mm] \bruch{dt}{dz}=\bruch{1}{cos^{2}(z)}
[/mm]
[mm] dt=\bruch{1}{cos^{2}(z)}*dz
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{tan^{2}(z)+1}*\bruch{1}{cos^{2}(z)}*dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{sin^{2}(z)+cos^{2}(z)} dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{1 dz}
[/mm]
=z
den letzten Schritt überlasse ich dir
Steffi
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Hallo nochmal,
> Super Hilfe!
> Also [mm]\big[-(t+1)^{-1}\big]_0^k[/mm][mm] =-\bruch{1}{k+1}+1.[/mm]
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> Somit ist der Grenzwert der ersten Teilfolge 0. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Uffpasse!
Das ist doch $0+1=1$
> mg,
>
> kozlak
Gruß
schachuzipus
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