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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:59 Mo 16.02.2009
Autor: Tyskie84

Hallo zusammen,

Ich finde bei folgender Aufgabe meinen Fehler nicht.

[mm] \integral_{}^{}{ln(x²+1) dx} [/mm]

[mm] \\z=x²+1 [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{ln(z) \bruch{dz}{2(\wurzel{z-1})}} [/mm]

[mm] \\u=z-1 [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{ln(u+1)\cdot\bruch{1}{2\wurzel{u}} du} [/mm]

Jetzt partiell integrieren:

[mm] \\ln(u+1)\cdot\wurzel{u}-\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{u}}{u+1} du} [/mm]

Jetzt resubs.

[mm] \\ln(z)\cdot\wurzel{z-1}-\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{z-1}}{z} dz}=ln(x²+1)\cdot\\x-\integral_{}^{}{\bruch{x}{x²+1} dx} [/mm]

Noch mal substituieren: [mm] \\k=x²+1 [/mm]

[mm] \\ln(x²+1)\cdot\\x-\integral_{}^{}{\bruch{1}{k} \bruch{dk}{2}}=ln(x²+1)\cdot\\x-\bruch{1}{2}ln(k)=ln(x²+1)\cdot\\x-\bruch{1}{2}ln(x²+1). [/mm]

Könnt ihr mir sagen wo ich den Fehler reingebaut habe?


[hut] Gruß
        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:15 Mo 16.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Tyskie84,

> Hallo zusammen,
>  
> Ich finde bei folgender Aufgabe meinen Fehler nicht.
>  
> [mm]\integral_{}^{}{ln(x²+1) dx}[/mm]
>  
> [mm]\\z=x²+1[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{ln(z) \bruch{dz}{2(\wurzel{z-1})}}[/mm]
>  
> [mm]\\u=z-1[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{ln(u+1)\cdot\bruch{1}{2\wurzel{u}} du}[/mm]
>  
> Jetzt partiell integrieren:
>  
> [mm]\\ln(u+1)\cdot\wurzel{u}-\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{u}}{u+1} du}[/mm]
>  
> Jetzt resubs.
>  
> [mm]\\ln(z)\cdot\wurzel{z-1}-\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{z-1}}{z} dz}[/mm] [ok]

> $ [mm] =ln(x²+1)\cdot\\x-\integral_{}^{}{\bruch{x}{x²+1} dx}$ [/mm] [notok]

Du hast hier das dz falsch resubstituiert.

Wahrscheinlich hast du denselben Fehler auch bei der ersten Resubstitution gemacht, da war es aber wegen du=dz egal, hier ist es nicht egal ;-)

Es ist hier $dz=2x \ dx$

Damit kommst du auf [mm] $\ln(x²+1)\cdot\\x-2\integral_{}^{}{\bruch{x^2}{x²+1} dx}$ [/mm]

Damit dann weiter ... (im Zähler schreibe [mm] $x^2=x^2+1-1$ [/mm] usw.)

>  
> Noch mal substituieren: [mm]\\k=x²+1[/mm]
>  
> [mm]\\ln(x²+1)\cdot\\x-\integral_{}^{}{\bruch{1}{k} \bruch{dk}{2}}=ln(x²+1)\cdot\\x-\bruch{1}{2}ln(k)=ln(x²+1)\cdot\\x-\bruch{1}{2}ln(x²+1).[/mm]
>  
> Könnt ihr mir sagen wo ich den Fehler reingebaut habe?
>  
>
> [hut] Gruß


Schicker Hut ;-)

LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:21 Mo 16.02.2009
Autor: Tyskie84

Hallo schachuzipus,

Vielen Dank für die Antwort. Werde mit deinem Tipp nun weiter rechnen. [ok]

[hut] Gruß
Bezug
        
Bezug
Stammfunktion: nur partielle Integration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Mo 16.02.2009
Autor: Loddar

Hallo Tyskie!


Auf die Substitution kann man auch verzichten, wenn man direkt partielle Integration anwendet:
[mm] $$\ln\left(x^2+1\right) [/mm] \ = \ [mm] \red{1}*\ln\left(x^2+1\right)$$ [/mm]

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Mo 16.02.2009
Autor: Tyskie84

Hallo Loddar,

Also:

[mm] \integral_{}^{}{1\cdot\\ln(x²+1)dx}=ln(x²+1)\cdot\\x-2\integral_{}^{}{\bruch{x²}{x²+1}dx}=ln(x²+1)\cdot\\x-2(x+arctan(x)) [/mm] ?

Stimmt das geht viel schneller.

[hut] Gruß
Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion: Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Mo 16.02.2009
Autor: Loddar

Hallo Tyskie!


Nicht ganz: vor dem [mm] $\arctan(x)$ [/mm] gehört ein Minuszeichen!


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:57 Mo 16.02.2009
Autor: Tyskie84

Hi,

achja hab ja die [mm] \red{-}2 [/mm] ausgeklammert. Danke!

Die ganzen Substitutionen für die Katz [kopfschuettel]

[hut] Gruß
Bezug
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