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Stammfunktion: Integrationstechnik
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 So 23.07.2006
Autor: DrRobotnik

Hallo,

ich habe eine (kurze) Frage zu einer Integrationstechnik, welche ich an einem Beispiel darstellen möchte.

[mm]\integral_{}^{} \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} ln(1 + x^2) + c[/mm]
Woher kommt das [mm]\frac{1}{2}[/mm] vor dem Logarithmus? Gilt nicht [mm]\integral_{}^{} \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln|f(x)| + c[/mm] ? Stammt das von dem [mm]x^2[/mm] und kann mir das jemand kurz erklären? (Nebenbei: Wieso ist [mm]x[/mm] eine Ableitung von [mm]x^2[/mm] ?)

Vielen Grüße
Philipp

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stammfunktion: Du sagst es doch selbst!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 So 23.07.2006
Autor: Event_Horizon

Du gibst dir die Antwort schon selbst! Die Ableitung von x² ist 2x. Da in dem Integranden offenbar keine 2 steht, muß in der Stammfunktion ein Faktor 1/2 stehen, der die 2 beim Ableiten frißt.

Also: Wenn in der Ableitung Faktoren auftauchen, die dort nicht im INtegranden stehen, muß die Stammfunktion den Kehrwert dieser Faktoren beinhalten.

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 So 23.07.2006
Autor: DrRobotnik

Danke erst einmal für Deine Antwort.

Aber wieso ist dann [mm]\integral_{}{} \frac{sin x}{2 + cos x} dx = - ln | 2 + cos x | + c[/mm] ? [mm]sin x[/mm] ist doch die Stammfunktion von [mm]cos x[/mm], wieso ist da noch ein Minus vor dem Logarithmus? Oder habe ich etwas übersehen?


Edit: Ups, da habe ich wohl was durcheinander gebracht. [mm]sin x[/mm] ist Ableitung von [mm]-cosx[/mm], deshalb wohl auch das Minus vor dem [mm]ln[/mm].

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion: Ableitung = -sin(x)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 So 23.07.2006
Autor: Loddar

Hallo DrRobotnik!


Auch hier gibst Du Dir in Deinem Edit die Antwort selbst. Da die Ableitung von [mm] $2+\cos(x)$ [/mm] den Term [mm] $\red{-} [/mm] \ [mm] \sin(x)$ [/mm] ergibt, musst Du zunächst den Bruch mit $(-1)_$ erweitern ...


Gruß
Loddar


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