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Ich bin gerade dabei die Bogenlängenformel zu benutzen.
Doch ich hänge bei der Suche nach der Stammfunktion fest.
s= [mm] \integral_{a}^{b} {(1+f'(x)^2) dx}
[/mm]
Für die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] bin ich jetzt so weit gekommen:
s= [mm] \wurzel{1+4x^2} [/mm] ich weiß zwar die Formel für die normale Stammfunktion:
F(x)= 1/n+1 [mm] \* [/mm] x^(n+1) doch ich glaube die hilft mir hier nicht weiter!
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann, würde mich sehr freuen!
Lg Sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Fr 04.03.2005 | | Autor: | cologne |
hallo sarah!
> Ich bin gerade dabei die Bogenlängenformel zu benutzen.
> Doch ich hänge bei der Suche nach der Stammfunktion fest.
>
> s= [mm]\integral_{a}^{b} {(1+f'(x)^2) dx}
[/mm]
du meinst: [mm]s=\integral_{a}^{b} {\wurzel{(1+f'(x)^2)} dx}
[/mm]
> Für die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] bin ich jetzt so weit gekommen:
>
> s= [mm]\wurzel{1+4x^2}[/mm] ich weiß zwar die Formel für die
und hier: [mm]s=\integral_{a}^{b} {\wurzel{1+4x^2} dx}[/mm]
> normale Stammfunktion:
> F(x)= 1/n+1 [mm]\*[/mm] x^(n+1) doch ich glaube die hilft mir
> hier nicht weiter!
richtig!
ich habe versucht, mit
[mm]t=1+4x^{2}[/mm]
zu substituieren, aber mit folgender substitutionsformel:
[mm]\integral_{a}^{b} {f(x) dx} = \integral_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} {f(g(t))*g'(t) dt} [/mm]
(2. Fassung der Substitutionsformel) mit x=g(t)
[mm]g(t)=x=\wurzel{\bruch{t-1}{4}}=\bruch{1}{2}\wurzel{t-1}[/mm]
[mm]g'(t)=\bruch{1}{4}\wurzel{\bruch{1}{t-1}}[/mm]
in die Bogenlängenformel eingesetzt:
[mm]s=\integral {(\wurzel{t}*\bruch{1}{4}*\wurzel{\bruch{1}{t-1}}) dt}=\bruch{1}{4}\integral {\wurzel{\bruch{t}{t-1}} dt}[/mm]
und hier bin ich noch am überlegen, wie es am einfachsten weitergeht ... vielleicht kommst du darauf?
liebe grüße
gerd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Sarah
Wenn du das Integral ein wenig umformst , dann kannst du die Substitution [mm]x=a*sinh*u[/mm] anwenden
[mm] \integral {\wurzel{1+4x^{2}} dx}=2*\integral {\wurzel{\bruch{1}{4}+x^{2}} dx}
[/mm]
Wie es weitergeht , siehst du hier! Ist ganz ähnlich die Rechnung! Mußt nur ein wenig umdenken.
Gruß Fabian
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