Stammfkt. einer rationalen Fkt < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $\int_{-1}^1 \frac{1}{2t^2+3}\,\mathrm [/mm] dt$ |
Hallo,
habe diesmal eine Frage zum Integrieren einer (gebrochen-)rationalen Funktion. Mir fällt nämlich keine Regel ein, die ich auf das obige "Monster" anwenden könnte. Partialbruchzerlegung würde komplexe Linearfaktoren ergeben $(t - i [mm] \cdot \sqrt{\frac{3}{2}})(t [/mm] + i [mm] \cdot \sqrt{\frac{3}{2}})$ [/mm] und das bringt mir kaum was. Substitution des Nenners durch u bringt auch nichts, da dann immer noch durch $4t$ geteilt wird und dies keine Konstante ist.
Laut wolframalpha ist die Stammfunktion: [mm] $\frac{arctan(\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot x)}{\sqrt{6}}. [/mm] Ich habe jedoch keine Idee, wie man darauf kommen sollte und freue mich daher auf eure Ratschläge.
Grüße
Joe
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Hallo JoeSunnex,
> [mm]\int_{-1}^1 \frac{1}{2t^2+3}\,\mathrm dt[/mm]
> Hallo,
>
> habe diesmal eine Frage zum Integrieren einer
> (gebrochen-)rationalen Funktion. Mir fällt nämlich keine
> Regel ein, die ich auf das obige "Monster" anwenden
> könnte. Partialbruchzerlegung würde komplexe
> Linearfaktoren ergeben [mm](t - i \cdot \sqrt{\frac{3}{2}})(t + i \cdot \sqrt{\frac{3}{2}})[/mm]
> und das bringt mir kaum was.
Jo, das ist unschön ...
> Substitution des Nenners durch
> u bringt auch nichts, da dann immer noch durch [mm]4t[/mm] geteilt
> wird und dies keine Konstante ist.
> Laut wolframalpha ist die Stammfunktion:
> [mm]$\frac{arctan(\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot x)}{\sqrt{6}}.[/mm] Ich
> habe jedoch keine Idee, wie man darauf kommen sollte und
> freue mich daher auf eure Ratschläge.
Nun, du kennst sicher [mm]\int{\frac{1}{1+x^2} \ dx}=\arctan(x)+c[/mm]
Falls nicht, substituiere [mm]x=\tan(u)[/mm] ...
Darauf führe dein Integral zurück.
Klammere [mm]\frac{1}{3}[/mm] aus, dann hast du
[mm]\frac{1}{3}\int{\frac{1}{\frac{2}{3}t^2+1} \ dt}=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{2}{3}}t\right)^2} \ dt}[/mm]
Nun fällt dir sicher eine passende Substitution ein, um das auf [mm]\int{1/(1+x^2) \ dx}[/mm] zurückzuführen ...
>
> Grüße
> Joe
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Di 25.09.2012 | | Autor: | JoeSunnex |
Danke schachuzipus, es ist einfacher als ich dachte :)
also nach deinem Schritt wäre die Substitution einfach: $u = t [mm] \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$ [/mm] => [mm] $\frac{1}{3} \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{\sqrt{\frac{2}{3}}} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{1}{6}} \cdot [/mm] arctan(u) = [mm] \frac{arctan(t \cdot \sqrt{\frac{2}{3}})}{\sqrt{6}}$
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Danke schachuzipus, es ist einfacher als ich dachte :)
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> also nach deinem Schritt wäre die Substitution einfach: [mm]u = t \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}[/mm]
> => [mm]\frac{1}{3} \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \sqrt{\frac{1}{6}} \cdot arctan(u) = \frac{arctan(t \cdot \sqrt{\frac{2}{3}})}{\sqrt{6}}[/mm] ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
So sieht's aus!
Gruß
schachuzipus
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