Stabilität, Phasenrand < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Fr 01.11.2013 | | Autor: | MrAnonym |
| Aufgabe 2 | Für welche Verstärkung k ist der Regelkreis mit der folgenden Schleifenübertragungsfunktion stabil?
[mm] Fo(s)=\bruch{k}{(1+5s)^3} [/mm] |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe mit der ich nicht so ganz klar komme.
Aufgabe1:
Also zuerst muss man ja Fr*Fs machen und naja, das Ergebnis sieht man links oben im Bild.
Das Ziel ist ja das Argument von Fo=Fr*Fs auszurechnen, aber da müsste man jetzt konjugiert komplex erweitern, doch laut dem Bild hat man das auch einfacher geschafft.
Aber ich verstehe nicht, wie die das gemacht haben. Warum kann man vom Nenner einfach die Phasenzahl ausrechnen? Und warum wird das Argument vom Nenner von 180° abgezogen?
Wie kommen die auf diesen Einheitskreis?
Und dieses Omega(durchtrittsfrequenz, die man ja für die phasenerandformel braucht: [mm] alpha_r=180°-arg(Fo(jwd))) [/mm] berechnet man ja somit, dass man den Betrag von Fo gleich 1 setzt.
Warum macht man das?
Aufgabe2:
Kann mir wer hier bitte einen Anstoss geben, weil ich hab keine Ahnung wie ich das machen könnte.
Danke im voraus!
mfg
MrAnonym
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo MrAnonym,
mit ein bisschen Umformen im Komplexen kann man wirklich direkt aus dem Bruch der Übertragungsfunktion die Phase berechnen. Etwas leger ausgedrückt, ist es die Phase des Zählers minus die Phase des Nenners. Du kannst es Dir ja gerne mal herleiten, ich gebe hier einfach mal ein Ergebnis an und wenn Du dies mit Deiner Lösung vergleichst, siehst Du die Parallelität.
Okay, wir gehen von einer komplexen Übertragungsform in Bruchform aus, die ich jetzt einfach mal durch ihre Real- und Imaginärteile beschreibe.
[mm] G(j\omega) = \bruch{a + jb}{c+jd} [/mm]
Das Betragsquadrat dieser Größe ist durch den Pythagoras einfach zu bestimmen:
[mm] | G(j \omega) |^2 = \bruch{a^2 + b^2}{c^2 + d^2} [/mm]
Der Phasenwinkel ergibt sich über den Arcustangens zu
[mm] \varphi(G(j \omega)) = \arctan(\bruch{b}{a}) - \arctan(\bruch{d}{c}) [/mm]
Die Differenz dieses Winkels zu 180 Grad ist der sogenannte Phasenrand. Da solltest du nochmal Deine Unterlagen anschauen, denn das Prinzip der stabilen Rückkopplung hast Du augenscheinlich noch nicht verstanden.
Was man möchte ist doch ein stabiler Regelkreis. Vom Ausgang des Regelkreises koppele ich eine Teilgröße zurück, die von der Eingangsgröße abgezogen wird. Dieses Minuszeichen sorgt schon einmal für eine Phasendrehung von 180 Grad. Sollten die Filter im Regelkreis noch einmal eine Phase von 180 Grad dazubringen, dann würde aus der Gegenkopplung eine Mitkopplung, der Kreis schwingt und ist damit kein Regelkreis mehr, sondern eher ein Osillator. Ob dies so ist, das checkt man mit der Bestimmung des Phasenrandes. Das ist der Grund für die Bestimmung dieses Phasenwertes. Es isat richtig, dass man dies bei einer Ringverstärkung von 1 begutachtet, das ist die maximale Amplitude, die ich gerade noch erlauben darf, damit die Amplitude durch die Rückkopplung nicht ins Unendliche (zumindest theoretisch) anwächst.
Aufgabe 2 zielt genau auf diese Amplitudenverstärkung, von der ich eben sprach.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Sa 02.11.2013 | | Autor: | MrAnonym |
Danke dir!
Zu Aufgabe1:
Ahh, ich verstehe nun, wie man auf den Winkel ohne komplexe Erweiterung kommt.
Naja und, wenn ich mir so ein Bild von einem Bodediagramm von Fo anschaue, dann sieht man ganz schon, dass bei der Durchtrittsfrequenz, die Amplitude |Fo(jw)| = 1 ist und der Abstand von -180° bis zum Graphen.
Und darum muss man |Fo(jw)| gleich 1 setzen, dass man die Durchtrittsfrequenz bekommt.
Ich hab ich das so richtig verstanden?
Du sagtest folgendes dazu: "Es ist richtig, dass man dies bei einer Ringverstärkung von 1 begutachtet, das ist die maximale Amplitude, die ich gerade noch erlauben darf, damit die Amplitude durch die Rückkopplung nicht ins Unendliche (zumindest theoretisch) anwächst."
Durch das - bei der Rückkopplung, wird ja alles um 180° verschoben. Ich bin gerade ein bisschen verwirrt. Was meinst du mit Ringeverstärkung, wahrscheinlich das |Fo(jw)|?
Das Nyquiestkriterum besagt ja, dass bei einer Phasenverschiebung von -180° |Fo(jw)|<1 sein soll, dass der Regelkreis stabil ist.
Wenn wir da dieses Fo verwenden, also die Schleifenübertragungsfunktion, d.h. die Rückkopplung ist ja dann aufgetrennt(offener Regelkreis), wie kann man dann -180° Phasenverschoben sein?
Weil beim Nyquiestkriterium verwendet man ja die -180°, um zu prüfen ob ein System stabil, grenzstabil oder instabil ist.
Wäre es nicht besser und genauer mit geschlossenen Regelkreis zu rechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo MrAnonym,
Deine Gedanken gehen schon in die richtige Richtung, ich schreibe der Einfachheit halber meine Antworten an die entsprechenden Stellen Deines Threads.
VG,
Infinit
> Danke dir!
>
> Zu Aufgabe1:
>
> Ahh, ich verstehe nun, wie man auf den Winkel ohne komplexe
> Erweiterung kommt.
>
> Naja und, wenn ich mir so ein Bild von einem Bodediagramm
> von Fo anschaue, dann sieht man ganz schon, dass bei der
> Durchtrittsfrequenz, die Amplitude |Fo(jw)| = 1 ist und der
> Abstand von -180° bis zum Graphen.
>
> Und darum muss man |Fo(jw)| gleich 1 setzen, dass man die
> Durchtrittsfrequenz bekommt.
>
> Ich hab ich das so richtig verstanden?
>
Ja, das ist richtig. Die Frage ist ja, wo man noch etwas herumdrehen kann, ohne instabil zu werden. Die eine Methode ist ja, diejenige Frequenz zu finden, bei der der Betrag gerade 1 ist, dann schaut man nach, ob man noch eine Phasenreserve hat bei dieser Frequenz. Die zweite Methode, bei Dir in der zweiten Aufgabe anwendbar, ist diejenige, die Frequenz zu finden, bei der die Rückkopplung der Phase gerade 180 Grad beträgt. Wenn die Amplitude bei dieser Frequenz kleiner als 1 ist, dann hat man noch eine Amplitudenreserve. Bei Dir kannst Du das ausnutzen, um die Variable k zu bestimmen in der zweiten Aufgabe.
> Du sagtest folgendes dazu: "Es ist richtig, dass man dies
> bei einer Ringverstärkung von 1 begutachtet, das ist die
> maximale Amplitude, die ich gerade noch erlauben darf,
> damit die Amplitude durch die Rückkopplung nicht ins
> Unendliche (zumindest theoretisch) anwächst."
>
> Durch das - bei der Rückkopplung, wird ja alles um 180°
> verschoben. Ich bin gerade ein bisschen verwirrt. Was
> meinst du mit Ringeverstärkung, wahrscheinlich das
> |Fo(jw)|?
Ja, das hatte ich damit gemeint und da der Betrag der quadratischen Übertragungsfunktion bei einer Größe von 1 auch 1 ist, kann man die Frequenz auch aus der Betragsquadratfunktion bestimmen und zieht dann die Wurzel. Das ist häufig einfacher, als immer die Wurzel aus der Betragsbildung in der Rechnung mitherumzuscheifen.
>
> Das Nyquiestkriterum besagt ja, dass bei einer
> Phasenverschiebung von -180° |Fo(jw)|<1 sein soll, dass
> der Regelkreis stabil ist.
>
> Wenn wir da dieses Fo verwenden, also die
> Schleifenübertragungsfunktion, d.h. die Rückkopplung ist
> ja dann aufgetrennt(offener Regelkreis), wie kann man dann
> -180° Phasenverschoben sein?
>
> Weil beim Nyquiestkriterium verwendet man ja die -180°, um
> zu prüfen ob ein System stabil, grenzstabil oder instabil
> ist.
>
> Wäre es nicht besser und genauer mit geschlossenen
> Regelkreis zu rechnen?
Da kann ich Dir nur wieder einen Blick in Deine Unerlagen empfehlen, da sollte der Zusammenhang zwischen dem offenen und geschlossenen Regelkreis beschrieben sein. Hier ist eine kleine Erklärung:
Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreis ist, mit [mm]F_v (j \omega) [/mm] als Vorwärtsübertragungsfunktion und mit [mm] F_r (j \omega) [/mm] als Übertragungsfunktion im Rückkoppelzweig, gerade
[mm] F(j \omega) = \bruch {F_v (j \omega) \cdot F_r (j \omega )}{1 + F_v (j \omega) \cdot F_r (j \omega)} [/mm]
Für Instabilitäten schaut man sich nun das Verhalten des Nenners an, denn wenn der Nullstellen aufweist, auch Pole genannt, wird die gesamte Sache instabil.
Da passieren schreckliche Sachen, wenn
[mm] F_v (j \omega) \cdot F_r (j \omega) = -1 [/mm]
gilt und diese Bedingung, im komplexen betrachtet, führt doch genau auf die Bedingungen, mit denen Du arbeitest.
Der Betrag von -1 ist 1 und die Phase ist 180 Grad. Die Terme, die auftauchen, sind aber glücklicherweise gerade die des offenen Regelkreises, was die mathematsche Bearbeitung vereinfacht. Die Bedingung wurde aber aus der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises hergeleitet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Sa 02.11.2013 | | Autor: | MrAnonym |
Danke dir! Schon langsam wirds.
> Die zweite Methode, bei Dir in der zweiten Aufgabe anwendbar, ist diejenige, die Frequenz zu finden, bei der die Rückkopplung der Phase gerade 180 Grad beträgt.
Die Rückkopplung der Phase. Ich komme da irgendwie nicht drauf, was meinst du damit? Irgendwie bin ich da noch ein bisschen verwirrt.
> Da kann ich Dir nur wieder einen Blick in Deine Unerlagen
> empfehlen, da sollte der Zusammenhang zwischen dem offenen
> und geschlossenen Regelkreis beschrieben sein. Hier ist
> eine kleine Erklärung:
> Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreis
> ist, mit [mm]F_v (j \omega)[/mm] als
> Vorwärtsübertragungsfunktion und mit [mm]F_r (j \omega)[/mm] als
> Übertragungsfunktion im Rückkoppelzweig, gerade
> [mm]F(j \omega) = \bruch {F_v (j \omega) \cdot F_r (j \omega )}{1 + F_v (j \omega) \cdot F_r (j \omega)}[/mm]
>
> Für Instabilitäten schaut man sich nun das Verhalten des
> Nenners an, denn wenn der Nullstellen aufweist, auch Pole
> genannt, wird die gesamte Sache instabil.
> Da passieren schreckliche Sachen, wenn
> [mm]F_v (j \omega) \cdot F_r (j \omega) = -1[/mm]
> gilt und diese
> Bedingung, im komplexen betrachtet, führt doch genau auf
> die Bedingungen, mit denen Du arbeitest.
> Der Betrag von -1 ist 1 und die Phase ist 180 Grad. Die
> Terme, die auftauchen, sind aber glücklicherweise gerade
> die des offenen Regelkreises, was die mathematsche
> Bearbeitung vereinfacht. Die Bedingung wurde aber aus der
> Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
> hergeleitet.
> >
> >
> >
Also bei mir im Buch steht folgendes:
[mm] Fo=F_r*F_s
[/mm]
[mm] Fw=\bruch{F_r*F_s}{1+F_r*F_s}
[/mm]
Fo ist die Schleifenübertragungsfunktion(offener Regelkreis).
Fw ist die Führungsübertragungsfunktion(geschlossener Regelkreis).
Fr -> Übertragungsfunktion des Regleres
Fs -> Übertragungsfunktion der Regelstrecke
Ist das hier das gleiche, was du meintest?
[mm] F_v [/mm] Vorwärtsübertragungsfunktion? [mm] F_r [/mm] Übertragungsfunktion im Rückkopplungszweig? Also bei meinem Standartregelkreis(![[]](/images/popup.gif) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Einfacher_Regelkreis_n.svg/800px-Einfacher_Regelkreis_n.svg.png) ist doch keine Übertragungsfunktion aufgezeichnet im Rückkopplungszweig.
Hm..., du sagtest der Betrag von -1 ist 1 und die Phase dann 180°. Wo/Wie kommt diese Phase zustande? Meinst du da jetzt den offenen oder geschlossenen Regelkreis?
Ich weiß noch nicht so recht, warum es jetzt reicht, nur mit dem Produkt von Regler und Regelstrecke zu rechnen und warum man da jetzt auch 180° verwendet, bei den ganzen Stabilitätssachen.
Kannst du mir das bitte nochmal vllt. ein bisschen genauer erklären?
Würde mich freuen, denn ich denke ich habs fast, hab gerade nur einen Knoten im Kopf :).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 03.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ich schreibe meine Antworten direkt rein.
VG,
Infinit
> Danke dir! Schon langsam wirds.
>
> > Die zweite Methode, bei Dir in der zweiten Aufgabe
> anwendbar, ist diejenige, die Frequenz zu finden, bei der
> die Rückkopplung der Phase gerade 180 Grad beträgt.
>
> Die Rückkopplung der Phase. Ich komme da irgendwie nicht
> drauf, was meinst du damit? Irgendwie bin ich da noch ein
> bisschen verwirrt.
>
Dann hast Du noch nicht verstanden, dass es zwei Kriterien gibt, wie ich versuchte, in meiner letzten Antwort darzustellen. Das Signal wird doch durch Amplitude und Phase beschrieben und die -1 als kritischer Punkt lässt sich doch darstallen als ein Signal mit dem Betrag 1 und einem Phasenwinkel von 180 rad.
> > Da kann ich Dir nur wieder einen Blick in Deine Unerlagen
> > empfehlen, da sollte der Zusammenhang zwischen dem offenen
> > und geschlossenen Regelkreis beschrieben sein. Hier ist
> > eine kleine Erklärung:
> > Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreis
> > ist, mit [mm]F_v (j \omega)[/mm] als
> > Vorwärtsübertragungsfunktion und mit [mm]F_r (j \omega)[/mm] als
> > Übertragungsfunktion im Rückkoppelzweig, gerade
> > [mm]F(j \omega) = \bruch {F_v (j \omega) \cdot F_r (j \omega )}{1 + F_v (j \omega) \cdot F_r (j \omega)}[/mm]
>
> >
> > Für Instabilitäten schaut man sich nun das Verhalten des
> > Nenners an, denn wenn der Nullstellen aufweist, auch Pole
> > genannt, wird die gesamte Sache instabil.
> > Da passieren schreckliche Sachen, wenn
> > [mm]F_v (j \omega) \cdot F_r (j \omega) = -1[/mm]
> > gilt und
> diese
> > Bedingung, im komplexen betrachtet, führt doch genau auf
> > die Bedingungen, mit denen Du arbeitest.
> > Der Betrag von -1 ist 1 und die Phase ist 180 Grad. Die
> > Terme, die auftauchen, sind aber glücklicherweise gerade
> > die des offenen Regelkreises, was die mathematsche
> > Bearbeitung vereinfacht. Die Bedingung wurde aber aus der
> > Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
> > hergeleitet.
> > >
> > >
> > >
>
> Also bei mir im Buch steht folgendes:
>
> [mm]Fo=F_r*F_s[/mm]
> [mm]Fw=\bruch{F_r*F_s}{1+F_r*F_s}[/mm]
>
> Fo ist die Schleifenübertragungsfunktion(offener
> Regelkreis).
>
> Fw ist die Führungsübertragungsfunktion(geschlossener
> Regelkreis).
>
> Fr -> Übertragungsfunktion des Regleres
> Fs -> Übertragungsfunktion der Regelstrecke
>
> Ist das hier das gleiche, was du meintest?
Fast das gleiche, denn Du betrachtest nur die Filter im Vorwärtsübertragungszweig und gehst davon aus, dass in der Rückkopplung keine Filterung stattfindet, die Übertragungsfunktion also identisch 1 ist.
In meiner Nomenklatur wäre dies also
[mm] F_v = F_r \cdot F_s [/mm] und
[mm] F_r = 1 [/mm], dann kommt man auf Deinen Ausdruck, wenn man berücksichtigt, dass das [mm] F_r [/mm] eine unterschiedliche Bedeutung hat.
Gehen wir mal von Deiner Darstellung aus und betrachten Dein [mm] F_w [/mm], dann kommt man aber zu den gleichen Überlegungen, wenn man sich den Nenner dieses Ausdrucks anguckt, wie ich sie bereits angegeben habe.
Der Nenner wird zu Null, und damit das System instabil, wenn gilt
[mm] Fr \cdot Fs = -1 [/mm]
>
Dieser Term ist doch gerade die Schleifenübertragungsfunktion, und deswegen genügt es, mit dieser weiterzuarbeiten.
> [mm]F_v[/mm] Vorwärtsübertragungsfunktion? [mm]F_r[/mm]
> Übertragungsfunktion im Rückkopplungszweig? Also bei
> meinem
> Standartregelkreis(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Einfacher_Regelkreis_n.svg/800px-Einfacher_Regelkreis_n.svg.png)
> ist doch keine Übertragungsfunktion aufgezeichnet im
> Rückkopplungszweig.
>
Die Rückkopplung existiert aber trotzdem, wenn auch bei einem einfachen Regelkreis in Form einer Übertragungsfunktion mit der Größe 1, das gesamte Ausgangssignal wird auf den Eingang rückgekoppelt.
> Hm..., du sagtest der Betrag von -1 ist 1 und die Phase
> dann 180°. Wo/Wie kommt diese Phase zustande?
Schau Dir doch mal die Lage des Punktes -1 in der komplexen Ebene an. In Betrag und Phase dargestellt hat dieser Punkt einen Betrag der Größe 1 und eine Phase von 180 Grad.
Meinst du da
> jetzt den offenen oder geschlossenen Regelkreis?
>
> Ich weiß noch nicht so recht, warum es jetzt reicht, nur
> mit dem Produkt von Regler und Regelstrecke zu rechnen
Das habe ich Dir doch im letzten Thread beschrieben. Es läuft hinaus auf die Darstellung des Punktes -1 als eine Größe mit einem Betrag von 1 und einem Winkel von 180 Grad.
und
> warum man da jetzt auch 180° verwendet, bei den ganzen
> Stabilitätssachen.
>
> Kannst du mir das bitte nochmal vllt. ein bisschen genauer
> erklären?
>
> Würde mich freuen, denn ich denke ich habs fast, hab
> gerade nur einen Knoten im Kopf :).
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 03.11.2013 | | Autor: | MrAnonym |
Ahh ok, danke dir!
Nun ist mir einiges klarer geworden.
Also, "zufälligerweise" ist ja bei -1(Realteil) auch auch der Nyquistpunkt, d.h. hier ist das ganze noch grenzstabil, dennoch schwingt es. Bei >-1 schwingt, dass ganze dann.
Jetzt kenne ich den Zusammenhang mit allem, falls das was ich oben geschrieben habe, stimmt.
Nun zur Aufgabe 2:
Wir wissen ja, dass wenn der Betrag von Fo(jw) = 1 ist, dass wir da an der Stabilitätsgrenze sind, d.h. wir müssen für |Fo(jw)|=1, dieses k ausrechnen.
Die Übertragungsfunkt der Aufabe 2 lautet ja: [mm] Fo(s)=\bruch{k}{(1+5s)^3}
[/mm]
Nun sollen wir aus 1 = [mm] |\bruch{k}{(1+5s)^3}|, [/mm] das k herausformen, doch wir haben noch eine weitere unbekannte, nämlich die kreisfreuquenz w.
Also wir suchen jene Kreisfrequenz bei -180° phasenverschiebung. Aber hm... ich komme da leider überhaupt nicht darauf.
Kannst du mir da bitte weiterhelfen?
Noch eine Frage bitte: Wenn ich nun mir den Punkt -1 auf so nem Einheitskreis einzeichne, mit der Länge(Betrag) 1, dann ist das ja genau der radius des Einheitskreis.
Der Punkt liegt im neg. Bereich auf (-1/0) halt, aber ist das nun 180° verschoben oder -180°? Kann man doch sehen wie man will, oder? Weil wenn man das ganze von unten betrachtet, dann -180° und von oben herkommt, dann 180°.
Wie sollte ich das am besten verstehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo MrAnonym,
in einem Bode-Diagramm werden, je nach Regler oder Regelstrecke, sowohl positive wie auch negative Phasenwinkel auftreten. Geht es jedoch um die Auswertung des Nyquist-Kriteriums im Bode-Diagramm, so arbeitet man mit -180 Grad, zumindest kenne ich es so noch aus alten Zeiten.
In Deiner zweiten Aufgabe brauchst Du nun den Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformierten s und dem Frequenzgang für [mm] j \omega [/mm]. Das ist aber recht einfach, denn es gilt
[mm] s = j \omega [/mm]
Setze das mal in Deinen Ausdruck ein, multipliziere ihn aus und bestimme die Frequenz, bei der die Phase -180 Grad beträgt. Für diesen Wert rechnest Du dann aus, wie groß k im Grenzfall werden darf.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 04.11.2013 | | Autor: | MrAnonym |
Danke dir, aber ich mich da wohl nicht so klar ausgedrückt sorry.
Ich hab nämlich schon folgendes probiert:
[mm] Fo(jw)=\bruch{k}{(1+5jw)^3}
[/mm]
-180°=atan [mm] \bruch{Im(Fo(w))}{Re(Fo(w))}
[/mm]
Ich kann ja da nicht das w ausrechnen, da ich ja 2 unbekannte habe, also k und w.
Du meintest doch das so, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mi 06.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
wenn das k reell und positiv ist, welcher Winkel gehört dann wohl dazu?
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mi 06.11.2013 | | Autor: | MrAnonym |
Danke und sorry, ich hab wieder mal zu kompliziert gedacht:
$ [mm] G(j\omega) [/mm] = [mm] \bruch{a + jb}{c+jd} [/mm] $
$ [mm] \varphi(G(j \omega)) [/mm] = [mm] \arctan(\bruch{b}{a}) [/mm] - [mm] \arctan(\bruch{d}{c}) [/mm] $
Und in dem Fall ist der Realteil unser k. Und dadurch wir keinen Imaginärteil im Zähler haben wird das zu arctan(0) und das ergibt 0 --> das k fällt weg und die Formel sieht dann ausmultipliziert folgendermaßen aus:
180 = [mm] \arctan(\bruch{15w}{-125w^3-75w^2+1})
[/mm]
Also, nach meine Logik, hab ich bis jetzt alles richtig gemacht, doch wir stehen vor einen Problem.
tan(180) ist doch 0 --> w wäre jetzt auch 0.
Was habe ich falsch gemacht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Do 07.11.2013 | | Autor: | MrAnonym |
Hm wir haben eine andere möglichkeit aufgeschrieben:
Wir haben angenommen, dass sich 1/(1+5s) eine Phase von -60° hat und durch das ^3 kommt man ja auf -180°, wo ja unsere gesuchte frequenz ist.
Dann macht man -60°=0°(Zähler)-arctan(5w/1)(Nenner).
Und hier kann man sich leicht das w ausrechnen. --> w=tan(60)/5 = 0,346.
Naja warum funktioniert dies Methode so. Funktioniert diese Methode auch bei 5/2s * (1+5s) oder bei [mm] (1+5s)^2 [/mm] * (1+s)
? Wie bestimme ich denn so die Winkel?
Aber warum geht das dann nicht mit dem ausmultiplizieren, was ich oben gemacht habe? Warum komme ich da auf w=0? Habe ich falsch gerechnet, oder was ist da los?
Bis heute Nacht(1:00 oder so) möchte ich es gernen wissen bitte. Wenns geht, ansonsten halt am nächsten Tag.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
durch Deinen Rechenfehler kamst Du auf ein anderes Ergenis als auf dem Weg, den Du hier beschrieben hast.
Ich gebe gerne zu, dass dieser Weg auch recht elegant ist.
Er nutzt die Formel von Moivre aus,
nach der
[mm] z^n = (a+ib)^n = r^n e^{(j n \varphi)} [/mm] ist.
Es langt also für solch eine Potenz, den Winkel der komplexen Zahl (a+ib) zu bestimmen und ihn anschließend mit der Potenz zu multiplizieren.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo MrAnonym,
beim Ausmultiplizieren hast Du ein j verschlampt und daher kommt Deine Skepsis.
Der Bruch, der Pi sein soll, lautet
[mm] arctan(\bruch{15 \omega - 125 \omega^2}{1-75\omega^2}) [/mm]
Die ist dann erfüllt, wenn der Zähler des Bruches den Wert Null besitzt.
Da kommt wirklich einmal [mm] \omega = 0 [/mm] raus, das liegt aber an der Pi-Periodizität des Arcustangens.
Einmal Omega ausklammern und Du kommst für den Zähler auf die weitere Bedingung
[mm] 15 = 125 \omega [/mm]
Das führt, wie Du leicht ausrechnen kannst, auf
[mm] \omega = 0,346 [/mm]. Dein Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit
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