Stabilität DGL in Polarkoord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Di 11.10.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | a) Schreiben Sie das Differentialgleichungssystem
[mm] \frac{d}{dt}x=px-y-x(x^2+y^2)
[/mm]
[mm] \frac{d}{dt}y=x-py-y(x^2+y^2)
[/mm]
in Polarkoordinaten [mm] $(r,\varphi)$ [/mm] mit $x=r [mm] \cos\varphi$,$y=r \sin\varphi$.
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Werte des Parameters [mm] $p\in\IR$, [/mm] für die die Gleichgewichtslage [mm] $0\in\IR^2$ [/mm] des Differentialgleichungssystems asymptotisch stabil ist. |
Hi!
Ich weiß nicht, wie ich den zweiten Teil dieser Aufgabe angehen soll. Stabilität kann man ja ganz gut anhand der Transformation in Polarkoordinaten ablesen.
Die Lösung der a) lautet
[mm] r'=p\cos(2\varphi)r-r^3
[/mm]
[mm] \varphi'=1-p\sin(2\varphi)
[/mm]
Meine Vermutung bei der b) lautet nun:
Fall I: p=0.
Dann erhält man die DGL [mm] $r'=-r^3, \varphi'=1$. [/mm] Da die Ableitung negativ ist, r stets positiv bleibt und autonome DGLn stets monotone Lösungen besitzen, wird der Abstand zum Nullpunkt immer kleiner. Die Winkelgeschwindigkeit ist konstant. Es ergibt sich also dem Ursprung annähernde Spirale.
Nun habe ich noch weitere Fallunterscheidungen angesetzt, diese wurden aber unnötig kompliziert. (Fall $0<p<1,p=1,p>1,p<0$)
Jetzt würde ich gern wissen, an welchem Punkt ich diese Aufgabe etwas vereinfachen kann. Wäre auch für einen anderen Lösungsansatz dankbar :)
Grüße,
Harris
Inzwischen habe ich bei Mathematica das Phasenportrait zeichnen lassen. Hier sieht man das alles ganz gut, nur wird meiner Meinung nach nicht ganz klar, ob die Lösungen stabil, oder asymptotisch stabil sind... Wie kann man das mathematisch fassen?
Seht selber:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:56 Do 13.10.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Also, ich habe inzwischen bewiesen, dass für $-1<p<1$ der Nullpunkt asymptotisch stabil ist.
Außerdem habe ich gezeigt, dass für $|p|>1$ eine instabile Gleichgewichtslage vorliegt.
Jetzt fände ich es elegant zu zeigen, dass die Menge [mm] $\{p\in\IR : 0 \text{ ist asymptotisch stabile Gleichgewichtslage} \} [/mm] $ offen ist, so dass die asymptotische Stabilität für [mm] $p=\pm [/mm] 1$ ausgeschlossen ist.
Wie geht das? Gibts hierfür einen Satz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Sa 15.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 13.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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