Spur und Diagonalmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A und P sind quadratische Matrizen mit Elementen in K und P ist invertierbar. Man soll zeigen
(i) [mm] spur(P^{-1}AP)=spur(A).
[/mm]
(ii) Ist [mm] P^{-1}AP [/mm] Diagonalmatrix mit Diagonal-Koeffizienten [mm] d_1,...,d_n, [/mm] so ist [mm] spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}^{t}[/mm] für alle [mm] t\in \mathbb{N} [/mm]. |
Hallo,
also (i) zu zeigen ist kein Problem.
Zu (ii). Kann ich da einfach schreiben, da [mm] spur(P^{-1}AP)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i} [/mm] und mit (i) folgt:
[mm] spur(A^t)=spur((P^{-1}AP)^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}^t [/mm] ? Oder ist das falsch? Wenns falsch ist, wie sollte ich das dann machen? Mit Induktion?
Schonmal Danke im Voraus.
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> A und P sind quadratische Matrizen mit Elementen in K und P
> ist invertierbar. Man soll zeigen
> (i) [mm]spur(P^{-1}AP)=spur(A).[/mm]
> (ii) Ist [mm]P^{-1}AP[/mm] Diagonalmatrix mit
> Diagonal-Koeffizienten [mm]d_1,...,d_n,[/mm] so ist
> [mm]spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}^{t}[/mm] für
> alle [mm]t\in \mathbb{N} [/mm].
> Hallo,
>
> also (i) zu zeigen ist kein Problem.
Hallo,
was soll denn [mm] d_i^t [/mm] sein?
Sollst Du vielleicht eher zeigen, daß [mm] spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i} [/mm] gilt?
>
> Zu (ii). Kann ich da einfach schreiben, da
> [mm]spur(P^{-1}AP)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}[/mm] und
> mit (i) folgt:
>
> [mm][mm] spur(A^t)=spur((P^{-1}AP)^t)
[/mm]
Dies Gleichung scheint mir etwas fix aufgestellt. Wie begründest Du diese Gleichheit?Ist $ [mm] P^{-1}AP [/mm] $ Diagonalmatrix mit Diagonal-Koeffizienten $ [mm] d_1,...,d_n, [/mm] $
Ich würd's so machen: vorausgesetzt ist st $ [mm] P^{-1}AP [/mm] =diag( [mm] d_1,...,d_n). [/mm] $
Dann ist A= ...
Also [mm] A^T= [/mm] ...
Zeige nun, daß die Diagonalmatrix eingerahmt ist von zwei zueinander inversen Matrizen und verwende (i).
Gruß v. Angela
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> Sollst Du vielleicht eher zeigen, daß
> [mm]spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}[/mm] gilt?
Nein. Ich habe bereits gezeigt, dass spur(P^-1AP)=spur(A). Ich soll tatsächlich das zeigen, was ich vorher in der Aufgabenstellung geschrieben habe.
> >
> > Zu (ii). Kann ich da einfach schreiben, da
> > [mm]spur(P^{-1}AP)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}[/mm] und
> > mit (i) folgt:
> >
> > [mm][mm]spur(A^t)=spur((P^{-1}AP)^t)[/mm]
Dies Gleichung scheint mir etwas fix aufgestellt. Wie begründest Du diese Gleichheit?Ist [mm]P^{-1}AP[/mm] Diagonalmatrix mit Diagonal-Koeffizienten [mm]d_1,...,d_n,[/mm]
>>Ich würd's so machen: vorausgesetzt ist st [mm]P^{-1}AP =diag( >>d_1,...,d_n).[/mm]
>>Dann ist A= ...
>>Also [mm]A^T=[/mm] ...
Achtung: mit [mm] A^t [/mm] ist hier nicht die Transponierte von A gemeint. t ist einfach eine natürliche Zahl und ein Exponent. Dann erfüllt die Aufgabenstellung nun auch einen Sinn. Wenn ich nämlich A t-mal mit sich selbst multipliziere, dann muss sie Spur von [mm] A^t [/mm] gleich der Summe der Diagonalmatrixeinträge hoch t sein.
Ist mein Ansatz dann vllt richtig bzw. wie soll ichs sonst machen?
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> > > [mm]spur(A^t)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}d_{i}^t[/mm]
> Achtung: mit [mm]A^t[/mm] ist hier nicht die Transponierte von A gemeint.
Oh. Entschuldigung. Ich hab' nicht weit genug geguckt...
Dann geht das so:
Du weißt, daß es eine Matrix P gibt mit [mm] P^{-1}AP=diag(d_1, [/mm] ..., [mm] d_n) [/mm] <==> [mm] A=Pdiag(d_1,..., d_n)P^{-1}.
[/mm]
Was hast Du denn, wenn Du [mm] A^t [/mm] rechnest? Dies [mm] \underbrace{()Pdiag(d_1,..., d_n)P^{-1})(Pdiag(d_1,..., d_n)P^{-1})...(Pdiag(d_1,..., d_n)P^{-1}}_{t-mal} [/mm] = ???
Wenn Du danach (i) verwendest, und noch vorrechnest, was [mm] (diag(d_1,...,d_n))^t [/mm] ist, z.B. per Induktion, bist Du fertig
Gruß v. Angela
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