Spur einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mi 05.12.2007 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | | Die Spur einer quadratischen Matrix [mm] A=(a_{ij}) \in M_n (K) [/mm] werde definiert durch [mm]SpurA=\summe_{i=1}^{n} a_{ii} [/mm] . Zeige, dass hierdurch eine lineare Abbildung Spur:[mm] M_n (K) \rightarrow K [/mm] definiert wird, welche für alle [mm] A, B \in M_n (K)[/mm] die Eigenschaft Spur(AB)=Spur(BA) hat. |
Hallo alle miteinander!!
Ich bin grad etwas am verzweifeln... Das ist eine der Aufgaben, die ich bis morgen abgeben muss... Das Problem ist, dass wir bisher die Spur in der Vorlesung noch nicht vorkam.... Und ich deswegen keinen Plan hab, was ich machen soll... Auch mein schlaues Buch hat mich bisher noch nicht weiter gebracht...
Kann mir einer sagen, was mit der Spur einer Matrix genau gemeint ist und was eine lineare Abbildung einer Spur ist??
Gruß, Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Spur einer quadratischen Matrix [mm]A=(a_{ij}) \in M_n (K)[/mm]
> werde definiert durch [mm][mm]SpurA=\summe_{i=1}^{n} a_{ii} [/mm][/mm] . Zeige, dass hierdurch eine lineare Abbildung Spur:[mm] [mm]M_n[/mm] (K) [mm]\rightarrow[/mm] K [mm][/mm][/mm] definiert wird, welche für alle [mm]A, B [mm]\in M_n (K)[/mm][/mm] die Eigenschaft Spur(AB)=Spur(BA) hat.[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Hallo alle miteinander!![/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Ich bin grad etwas am verzweifeln... Das ist eine der Aufgaben, die ich bis morgen abgeben muss... Das Problem ist, dass wir bisher die Spur in der Vorlesung noch nicht vorkam.... Und ich deswegen keinen Plan hab, was ich machen soll... Auch mein schlaues Buch hat mich bisher noch nicht weiter gebracht...[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Kann mir einer sagen, was mit der Spur einer Matrix genau gemeint ist und was eine lineare Abbildung einer Spur ist??[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Gruß, Julia[/mm][/mm][/mm]
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> [mm][mm][mm]Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. [/mm][/mm][/mm]
Hallo,
was die Spur ist, ist ja in Deiner Aufgabe definiert.
Was sind denn die [mm] a_i_i? [/mm] Die Diagonalelemente.
Also ist die Spur die Summe der Diagonalelemente. (Was will man das noch großartig in der Vorlesung auswalzen?)
Zeigen sollst Du nun, daß die Abbildung Spur, welche jeder Matrix ihre Spur zuordnet, also Spur (X )= Summe der Diagonalelemente v. linear ist,
daß also Spur(A+B)=Spur(A)+Spur(B) und [mm] Spur(\lambda A)=\lambda [/mm] Spur(A) gilt für alle A,B und [mm] \lambda.
[/mm]
Zum Schluß mußt Du noch vorrechen, daß Spur(AB)=Spur (BA).
Guck dazu die Diagonalelemente v. AB und BA an.
Gruß v. Angela
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