Spur, diagonalisierbare Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Di 22.07.2008 | | Autor: | natea |
| Aufgabe | Ist folgende Aussage wahr oder falsch:
Wenn A n verschiedene Eigenwerte [mm] \lambda_1,........,\lambda_n [/mm] hat, dann gilt Spur(A) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i. [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der vorgegebenen Musterlösung. Diese lautet:
Wahr. Wenn A n verschiedene Eigenwerte hat, dann ist A diagonalisierbar, also ähnlich zu einer Diagonalmatrix D, deren Diagonalelemente gerade die Eigenwerte [mm] \lambda_1,........,\lambda_n [/mm] sind. Es folgt Spur (D) = [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i, [/mm] und -Spur(D) ist der Koeffizient von [mm] T^n^-^1 [/mm] in [mm] \chi_D. [/mm] Da ähnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom haben, folgt [mm] \chi_A [/mm] = [mm] \chi_D [/mm] . Der Koeffizient von [mm] T^n^-^1 [/mm] in [mm] \chi_A [/mm] ist -Spur(A), und es folgt Spur(A) = Spur (D) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i.
[/mm]
Meine Frage nun zu dieser Aufgabe lautet:
Würde es als Beweis, dass die Aussage wahr ist nicht reichen folgendes zu sagen:
Da A n verschiedene Eigenwerte hat, ist A diagonalisierbar, wobei die Diagonalmatrix als Diagonalelemente die Eigenwerte [mm] \lambda_1,........,\lambda_n [/mm] hat. Deshalb ist die Spur der Diagonalmatrix gleich [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i. [/mm] Da A ähnlich zu der Diagonalmatrix ist und ähnliche Matrizen, dieselbe Spur haben, folgt daraus, dass Spur(A)= [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i.
[/mm]
Es ist doch so, dass ähnliche Matrizen dieselbe Spur haben, oder nicht?! Würde deshalb nicht, der von mir gemachte Beweis ausreichen??
Viele Grüße!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Und wie beweist Du das:
"Es ist doch so, dass ähnliche Matrizen dieselbe Spur haben" ????
Über das Char. Polynom (wie oben) !!!!!
FRED
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