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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 09.01.2010 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Man zeige: Für zwei nxn-Matrizen A,B gilt:
spur(AB)=spur (BA) |
Hallo,
also was die Spur und so weiter weiß ich. Meine frage ist,ob ich mit der transponierten Matrix argumentieren kann? Ungefähr so:
[mm] A=a_{ij}, A^{T}=a_{ji} [/mm] -> spur(A)= [mm] spur(A^{T})
[/mm]
B analog
Also
[mm] spur(AB)=c_{ii}=\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} a_{ik} b_{ki} [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{n}\summe_{i=1}^{n} a_{ik} b_{ki} =\summe_{k=1}^{n}\summe_{i=1}^{n} b_{ki} a_{ik} [/mm] = spur(BA)
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Sa 09.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man zeige: Für zwei nxn-Matrizen A,B gilt:
> spur(AB)=spur (BA)
> Hallo,
> also was die Spur und so weiter weiß ich. Meine frage
> ist,ob ich mit der transponierten Matrix argumentieren
> kann? Ungefähr so:
> [mm]A=a_{ij}, A^{T}=a_{ji}[/mm] -> spur(A)= [mm]spur(A^{T})[/mm]
> B analog
Das ist richtig.
>
> Also
> [mm]spur(AB)=c_{ii}=\summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} a_{ik} b_{ki}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\summe_{i=1}^{n} a_{ik} b_{ki} =\summe_{k=1}^{n}\summe_{i=1}^{n} b_{ki} a_{ik}[/mm]
> = spur(BA)
>
> Stimmt das so?
Ja, aber da hast du nichts mit der transponierten Matrix gemacht, sondern die beiden Summationene vertauscht.
Viele Grüße
Rainer
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