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| Aufgabe | Die Funktion f: [a,b]-> R sei differenzierbar. Zeigen Sie, dass für alle [mm] \gamma [/mm] zwischen f' (a) und f' (b) ein [mm] \lambda \in [/mm] (a, b) mit f' [mm] (\lambda) [/mm] = [mm] \gamma [/mm] existiert.
Bemerkung: Diese Aussage zeigt, dass die Ableitung einer Funktion keine Sprungstellen haben kann. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keine anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend,
kann mir einer helfen? Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe bewerkstelligen könnte. Ich habe mithilfe einer Beispielfunktion gesehen, dass das wirklich gilt, aber wie kann ich das beweisen? Kann mir einer nen Tipp bzw. eine Hilfestellung geben?
Danke schonmal =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Mo 16.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Die Funktion f: [a,b]-> R sei differenzierbar. Zeigen Sie,
> dass für alle [mm]\gamma[/mm] zwischen f' (a) und f' (b)
Ich glaube, man muss [mm] $f'(a)\neq [/mm] f'(b)$ voraussetzen.
> ein
> [mm]\lambda \in[/mm] (a, b) mit f' [mm](\lambda)[/mm] = [mm]\gamma[/mm] existiert.
>
> Bemerkung: Diese Aussage zeigt, dass die Ableitung einer
> Funktion keine Sprungstellen haben kann.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keine
> anderen Internetseiten gestellt.
>
> Guten Abend,
>
> kann mir einer helfen? Ich habe keine Ahnung, wie ich diese
> Aufgabe bewerkstelligen könnte. Ich habe mithilfe einer
> Beispielfunktion gesehen, dass das wirklich gilt, aber wie
> kann ich das beweisen? Kann mir einer nen Tipp bzw. eine
> Hilfestellung geben?
>
> Danke schonmal =)
Man kann die Behauptung mit Hifge des Satzes beweisen, der besagt, dass wenn [mm] $x\in [/mm] (a,b)$ ein Maximun/Minimum ist, dass dann $g'(x)= 0$ gilt, indem Du die Funktion $g(x):= [mm] f(x)-\gamma [/mm] x$ betrachtest.
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Aber ich kann doch nicht einfach noch zusätzlich etwas voraussetzen, was so gar nicht gegeben ist , oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aber ich kann doch nicht einfach noch zusätzlich etwas
> voraussetzen, was so gar nicht gegeben ist , oder?
Was soll den das sein, was zus. vorausgesetzt wird ???
Tipp: Zwischenwertsatz für Ableitungen.
FRED
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> Was soll den das sein, was zus. vorausgesetzt wird ???
Hallo,
es geht darum, daß hippias meinte, man könne die Aussage nur für [mm] f'(a)\not=f'(b) [/mm] zeigen.
>
> Tipp: Zwischenwertsatz für Ableitungen.
Das wird nicht funktionieren, denn f ist n.V. differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Was soll den das sein, was zus. vorausgesetzt wird ???
>
> Hallo,
>
> es geht darum, daß hippias meinte, man könne die Aussage
> nur für [mm]f'(a)\not=f'(b)[/mm] zeigen.
>
> >
> > Tipp: Zwischenwertsatz für Ableitungen.
>
> Das wird nicht funktionieren, denn f ist n.V.
> differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar.
Hallo Angela,
doch es funktioniert. Die Aussage, die mathemaus zeigen soll, heißt "Zwischenwertsatz für Ableitungen".
Du hast doch denn "Heuser" , Band I, schau mal auf Seite 285
Gruß FRED
>
> LG Angela
>
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> > > Was soll den das sein, was zus. vorausgesetzt wird ???
> >
> > Hallo,
> >
> > es geht darum, daß hippias meinte, man könne die Aussage
> > nur für [mm]f'(a)\not=f'(b)[/mm] zeigen.
> >
> > >
> > > Tipp: Zwischenwertsatz für Ableitungen.
> >
> > Das wird nicht funktionieren, denn f ist n.V.
> > differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar.
>
> Hallo Angela,
>
> doch es funktioniert. Die Aussage, die mathemaus zeigen
> soll, heißt "Zwischenwertsatz für Ableitungen".
>
> Du hast doch denn "Heuser" , Band I, schau mal auf Seite
> 285
>
> Gruß FRED
Hallo Fred,
ich hatte das falsch verstanden: ich dachte, sie solle auf die Ableitungsfunktion den ZWS anwenden.
Den "Zwischenwertsatz für Ableitungen" kannte ich bis heute als eigenen Satz übrigens gar nicht, will aber nicht ausschließen, daß auch ich ihn vor Urzeiten als Übungsaufgabe vorgesetzt bekommen habe.
Ich wage kaum, es Dir zu sagen: ich besitze gar keinen Heuser, den hatte ich zu Studienzeiten immer bloß ausgeliehen...
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:41 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich wage kaum, es Dir zu sagen: ich besitze gar keinen
> Heuser, den hatte ich zu Studienzeiten immer bloß
> ausgeliehen...
................... schäm Dich.....
Gruß FRED
>
> LG Angela
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> ................... schäm Dich.....
Ja, mache ich!
ich stell mich in die Ecke.
Aber ich habe immerhin schonmal versucht, das Buch zu ersteigern.
Ich hoffe, daß ich daher am Tagesende aus meiner Ecke wieder vorkommen darf.
LG Angela
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> Aber ich kann doch nicht einfach noch zusätzlich etwas
> voraussetzen, was so gar nicht gegeben ist , oder?
Hallo,
nein, das darf man nicht.
EDIT (wegen ziemlich Unausgegorenem=Blödsinn.)
Ohne die Voraussetzung, daß [mm] f(a)\not=f(b) [/mm] ist, gilt der Satz aber nicht.
Betrachte dazu die f(x):=sin(x) für [mm] x\in[a:=-\bruch{\pi}{2}, b:=\bruch{\pi}{2}],
[/mm]
Es ist f'(a)=0=f'(b), aber für [mm] x\in [/mm] ]a,b[ ist f'(x)=cos(x)>0.
Du kannst also entweder schnell fertig sein, indem Du sagst: die zu beweisende Behauptung gilt nicht.
Oder Du beweist sie für [mm] f'(a)\not=f'(b) [/mm] und lieferst für f'(a)=f'(b) ein Gegenbeispiel.
Dies würde ich für die angebrachte Vorgehensweise halten - verbunden damit, daß Du die Chefs auf das Problem hinweist.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Aber ich kann doch nicht einfach noch zusätzlich etwas
> > voraussetzen, was so gar nicht gegeben ist , oder?
>
> Hallo,
>
> nein, das darf man nicht.
>
> Aber Du mußt das auch nicht.
>
> Für f'(a)=f'(b) wird ja behauptet, daß es eine Stelle
> [mm]\lambda[/mm] zwischen a und b gibt, für welche
> [mm]f'(\lambda)=f'(a)[/mm] gilt.
>
> Mit den von hippias bereits angedeueten Überlegungen
> betrachtest Du hierfür die Funktion g(x)=f(x)-f'(a)x.
> Es ist g stetig und
> g(a)=0 und g(b)=0.
Wie das ?
FRED
> Entweder ist die Funktion konstant, oder es gibt zwischen
> a und b ein Minimum oder Maximum...
>
> LG Angela
>
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Warum darf man das nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Jule2 |
Hi Mathemaus
schau dir doch nochmal die Hilfsfunktion an
[mm] g(x)=f(x)-\gamma [/mm] x
Was kannst du nun über g bezüglich diffbarkeit und stetigkeit sagen!
Mit dem Satz von Weierstraß lassen sich dann Aussagen über Minimum und Mixima von g treffen und damit kannst du dann auch ganz schnell zeigen das
[mm] f'(\varepsilon)=\gamma [/mm] ist!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Jule2 |
> Hi Mathemaus
> schau dir doch nochmal die Hilfsfunktion an
> [mm]g(x)=f(x)-\gamma[/mm] x
> Was kannst du nun über g bezüglich diffbarkeit und
> stetigkeit sagen!
> Mit dem Satz von Weierstraß lassen sich dann Aussagen
> über Minimum und Mixima von g treffen und damit kannst du
> dann auch ganz schnell zeigen das
> [mm]f'(\varepsilon)=\gamma[/mm] ist!
Sorry es muss natürlich [mm] f'(\lambda) [/mm] heißen
>
> Liebe Grüße
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