Spielplan mit für Skat, Halma < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Do 25.01.2007 | | Autor: | Gibraldo |
| Aufgabe | Ich bin kein Mathematiker aber ich entwickle Spielpläne. Ich kenne die Logik um z.B. einen Ligaspielplan "Jeder gg. Jeden" mit beliebig vielen Mannschaften zu erstellen, sowie wie in der Fussball-Bundesliga die 18 Mannschaften sich an 17.Spieltagen paaren.
Nun habe ich aber an ein weit kniffligeres Problem herangewagt, an dem ich mit meinen Kenntnissen an Grenzen stoße. Es geht um eine Erweteiterung des oben beschriebenen.
Wie würde man einen Liga-Spielplan generigeren können bei dem nicht 2, sondern 3 Kontrahenten in einer "Begegnung" aufeinander treffen, z.b.
bei Skat oder Halma. Es soll dabei auch hier "Jeder gg. jeden" einmal antreten, aber eben exakt nur einmal.
Für eine 9er Liga habe ich dies ohne Probleme durch "Probieren" hinbekommen.
Es würde z.B. wie folgt aussehen:
1.Spieltag:
Spiel1: 1-2-3
Spiel2: 4-5-6
Spiel3: 7-8-9
2.Spieltag:
1-4-7
2-5-9
3-6-8
3.Spieltag
1-5-8
2-6-7
3-4-9
4.Spieltag:
1-6-9
2-4-8
3-5-7
Wie gesagt: Habe herumprobiert. Nun will ich selbiges für eine 12er, 15er,
18er Liga machen, beiße mir hier aber die Zähne aus.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gibt es dafür eine Systemmatik, wie so ein Spielplan erstellt werden kann?
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Moin und hallo,
ich fang einfach mal an:
wir haben 3n Spieler und fragen mal nach einem Spielplan in Deinem Sinne, so dass an jedem Spieltag alle spielen.
Da pro Partie jeder mit zwei neuen Spielern spielt, muss dafür notwendigerweise 3n-1 gerade sein.
Bezeichnen wir die Spieler mit [mm] 0,\ldots [/mm] 3n-1,
so bilden wir am ersten Tag die Partien
[mm] p_{1,j}=(3j,3j+1,3j+2),\:\: 0\leq j\leq [/mm] n-1
Stellen wir uns mal vor, dass Spieler 3j stets in Partie j spielt, und die Spieler 3j+1, 3j+2 wechseln die Partien, und zwar geht Spieler 3j+1 immer eine Partie weiter, Spieler 3j+2 immer zwei Partien weiter - wobei wir uns die Partien 1, [mm] \ldots [/mm] n
zyklisch angeordnet denken.
Wann klappt das ? Nun, die 3j+1 werden nacheinander die Spieler 3j, 3j+3, 3j+6 usw besuchen, die Spieler 3j+2 die Spieler 3j, 3j+6, 3j+12 usw., und da 3n-1 gerade ist, muss n ungerade sein, so dass in n Schritten die Spieler 3j+2 tatsächlich alle Spieler 3j besuchen. Zu kláren bleibt, ob sich zwei Spieler 3j+1 , 3l+2 zweimal begegnen - wenn nicht, sind wir fertig.
Ich denke, vermöge Umnumerierung kann man argumentieren, dass es reicht, zu zeigen, dass die Spieler 1 und 2 sich nicht mehr begegnen (ausser in der ersten Partie).
Fallso doch, so müsste es also ein [mm] t\in \{1,\ldots n-2\} [/mm] geben mit
[mm] t\equiv 2t\mod [/mm] 3n, also [mm] 0\equiv t\mod [/mm] 3n,
und das sollte nicht der Fall sein, oder ?
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Fr 26.01.2007 | | Autor: | Gibraldo |
Puh,
ich sagte doch, ich bin mathematisch unbegabt, aber vielen dank, dass du Dir die mühe gemacht hast.
könntest du deinen algorithmus evtl an einer "15 Spieler" liga erläutern
Wenn der 1. Spieltag so aussieht:
1-2-3
4-5-6
7-8-9
10-11-12
13-14-15
wie dann der zweite?
und der dritte?
Wäre echt hilfreich 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mi 14.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich versuche es mal.
Also
erster Spieltag:
1-2-3
4-5-6
7-8-9
10-11-12
13-14-15
Jetzt rutscht der dritte genau 2 Plätze weiter, der 2 einen Platz, und der erste bleibt sitzen:
Also: Zweiter Spieltag:
1-14-12
4-2-15
7-5-3
10-8-6
13-11-9
Und der Dritte Spieltag:
1-11-6
4-14-9
7-2-12
10-5-15
13-8-3
usw...
Marius
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