Spielautomat Wahrscheinlichk. < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 02.03.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. Bei einem Spielautomat ist die Gewinnwahrscheinlichkeit auf 0.35 eingestellt.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer Serie von 12 Spielen mehr als zweimal gewinnt?
b) Drei Spieler A,B und C spielen in dieser Reihenfolge solange, bis der erste gewinnt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler C den Sieg davon trägt?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man bei einer Versuchsserie von 80 Spielen mehr als 25 mal?
d) Da man bei einer Serie von 200 Spielen nur 55 Mal gewonnen hat, vermutet man, dass der Automatenbesitzer die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielautomates herabgesetzt hat. Kann man aus dieser Versuchsserie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 2% schliessen, dass die Vermutung zutrifft? |
Guten Abend,
1. a) $P(1)= [mm] 1\cdot 0.65^{12}$, [/mm] $P(2)= [mm] 12\cdot 0.35\cdot 0.65^{11}$, [/mm] $P(3)= 66 [mm] \cdot [/mm] 0.35 ^{3} [mm] \cdot [/mm] 0.65 ^{10}$, alles zusammengezählt und von $1$ abgezogen ergibt: $0.8487$ bzw. 84.89 %.
b) unendliche geometrische Reihe? Sehe aber nicht wie ich diesen Gedanken weiterverwenden könnte ...
c)Habe hier mit zwei Formeln gerechnet und zwei verschiedene Resultate erhalten:
erstens mit :
$z = [mm] \frac{X-E(X)}{\sigma}$ [/mm] (wusste nicht ob ich $0.5$ von X abziehen muss oder nicht...) ; ergibt $0.758$, also für 75.8%.
zweitens mit:
ergibt mir aber 79.9% ...
Welches ist nun richtig?
d) Die Hypothese ist dass [mm] $H_{1} [/mm] = < 0.35$ und [mm] $H_{0} [/mm] = >0.35$
[mm] $z=\frac{55-70}{\sqrt{70\cdot0.65}}=-2.2237$ [/mm] ; [mm] $\phi{-2.2237} [/mm] = 1 - 0.98679 = 0.01321$; $P(55<X) = 1-0.01321 = 0.98679$
Jetzt habe ich doch eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 2% (also Signifikanzniveau von 2% (?)), wie gehe ich nun vor um den Ablehnungsbereich zu erhalten?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo kushkush,
> 1. Bei einem Spielautomat ist die Gewinnwahrscheinlichkeit
> auf 0.35 eingestellt.
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> a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer
> Serie von 12 Spielen mehr als zweimal gewinnt?
> b) Drei Spieler A,B und C spielen in dieser Reihenfolge
> solange, bis der erste gewinnt. Wie gross ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass Spieler C den Sieg davon trägt?
> c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man bei einer
> Versuchsserie von 80 Spielen mehr als 25 mal?
> d) Da man bei einer Serie von 200 Spielen nur 55 Mal
> gewonnen hat, vermutet man, dass der Automatenbesitzer die
> Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielautomates herabgesetzt
> hat. Kann man aus dieser Versuchsserie mit einer
> Irrtumswahrscheinlichkeit von 2% schliessen, dass die
> Vermutung zutrifft?
> Guten Abend,
>
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> 1. a) [mm]P(1)= 1\cdot 0.65^{12}[/mm], [mm]P(2)= 12\cdot 0.35\cdot 0.65^{11}[/mm],
> [mm]P(3)= 66 \cdot 0.35 ^{3} \cdot 0.65 ^{10}[/mm], alles
> zusammengezählt und von [mm]1[/mm] abgezogen ergibt: [mm]0.8487[/mm] bzw.
> 84.89 %.
Das ist zwar etwas seltsam notiert (p(1) sollte eigentlich p(0) sein, oder?) aber ansonsten okay.
> b) unendliche geometrische Reihe? Sehe aber nicht wie ich
> diesen Gedanken weiterverwenden könnte ...
Ja, so ist es wahrscheinlich.
Uns interessiert, dass der ERSTE Gewinn beim Spielautomaten entweder beim 3. Versuch, beim 6. oder beim 9. usw. auftritt.
In Zahlen:
[mm] 0.65^{2}*0.35 [/mm] (3. Mal Erfolg) oder
[mm] 0.65^{5}*0.35 [/mm] (6. Mal Erfolg) oder
[mm] 0.65^{8}*0.35 [/mm] (9. Mal Erfolg) oder
...
Das muss nun alles zusammenaddiert werden:
[mm] $0.65^{2}*0.35+0.65^{5}*0.35+0.65^{8}*0.35+...$
[/mm]
Man kommt zur unendlichen Summe:
$p = [mm] \summe_{k=0}^{infinity}0.65^{3k+2}*0.35$
[/mm]
Die vereinfachst du jetzt:
$= [mm] 0.35*0.65^{2}*\summe_{k=0}^{infinity}0.65^{3k}$
[/mm]
$= [mm] 0.147875*\summe_{k=0}^{infinity}0.274625^{k}$
[/mm]
Nun nur noch geometrische Summenformel anwenden!
(Der letzte Schritt in der Summe entstand durch Potenzgesetze: [mm] 0.65^{3k} [/mm] = [mm] (0.65^3)^k [/mm] )
Ich komme auf p = 0.2038600724.
> c)Habe hier mit zwei Formeln gerechnet und zwei
> verschiedene Resultate erhalten:
> erstens mit :
> [mm]z = \frac{X-E(X)}{\sigma}[/mm] (wusste nicht ob ich [mm]0.5[/mm] von X
> abziehen muss oder nicht...) ; ergibt [mm]0.758[/mm], also für
> 75.8%.
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was du hier gerechnet hast.
> zweitens mit:
>
>
>
> ergibt mir aber 79.9% ...
Wenn ich das ausrechne, komme ich auf 72,11%...
Du musst für [mm] x_1=26, x_2 [/mm] = 80 einsetzen.
Bei mir ist [mm] \mu [/mm] = 28, [mm] \sigma [/mm] = 4.266.
> Welches ist nun richtig?
Exakt richtig ist 71.83%. Rechnen würde ich es bei dir mit der zweiten Variante.
> d) Die Hypothese ist dass [mm]H_{1}:p < 0.35[/mm] und [mm]H_{0} :p \ge 0.35[/mm]
Genau (achte auf meine Modifikationen!)
> [mm]z=\frac{55-70}{\sqrt{70\cdot0.65}}=-2.2237[/mm] ; [mm]\phi{-2.2237} = 1 - 0.98679 = 0.01321[/mm];
> [mm]P(55
>
> Jetzt habe ich doch eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 2%
> (also Signifikanzniveau von 2% (?)), wie gehe ich nun vor
> um den Ablehnungsbereich zu erhalten?
Genau, das Signifikanzniveau [mm] \alpha [/mm] ist 0.02.
Da du nicht eine "konkrete" Gegenhypothese, also eine mit einer zweiten Wahrscheinlichkeit hast, brauchen wir einen gleichmäßig besten Test.
$P(k<k*) = 0.02 = [mm] \alpha$
[/mm]
Du musst das k* bestimmen, für das diese Gleichung noch erfüllt ist.
Dann ist (0,...,k*) der Bereich, bei welchem der Alternativhypothese H1 zugestimmt wird.
P ist dabei wieder Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung mit 0.35 = p und n = 200.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mi 03.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke steppenhahn!
Ich habe den letzten Teil so gelöst (Versuch, die kritische Zahl zu bestimmen...):
da $0.02 = 1-.98$ ist, habe ich in der Tabelle den inversen Wert zu $.98$ gesucht, das ist ungefähr $2.06$. Dann habe ich das so versucht zu lösen:
$2.06 = \frac{k-70}{\sqrt{70\cdot 0.65}$
aufgelöst nach k ergibt das allerdings $78.22$ ... das stimmt doch nicht ?!
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Hallo!
> Danke steppenhahn!
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> Ich habe den letzten Teil so gelöst (Versuch, die
> kritische Zahl zu bestimmen...):
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> da [mm]0.02 = 1-.98[/mm] ist, habe ich in der Tabelle den inversen
> Wert zu [mm].98[/mm] gesucht, das ist ungefähr [mm]2.06[/mm]. Dann habe ich
> das so versucht zu lösen:
>
> [mm]2.06 = \frac{k-70}{\sqrt{70\cdot 0.65}[/mm]
>
> aufgelöst nach k ergibt das allerdings [mm]78.22[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
... das
> stimmt doch nicht ?!
Das stimmt nicht. Du musst
$\red{-}2.06 = \frac{k-70}{\sqrt{70\cdot 0.65}$
als Ausgangsgleichung nehmen!
Es geht doch um die Wahrscheinlichkeit für 0.02, und du benutzt die für 0.98 nur als Hilfe.
Du weißt nun also, dass \Phi(z) = 0.98, wenn z = 2.06. Wir wollen aber wissen, für welches z gilt, dass \phi(z) = 0.02 ist!
Also: 0.02 = 1 - 0.98 = 1-\Phi(2.06) = \Phi(-2.06).
Okay?
Man kommt dann auf k* = 56; mit exakter Rechnung (also Binomialverteilung) würde man auf k* = 55 kommen. Ist aber egal: In beiden Fällen ist der Bereich, wo man sich für H1 entscheidet, gerade noch so, dass 55 drin ist.
(0,...,56)
bzw.
(0,...,55)
ist nämlich dann der Annahmebereich für die H1.
Man entscheidet sich also für H1.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Mi 03.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke danke danke!
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