Spiegelungsmatrix an Geraden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Matrix, die einer Spiegelung an der Geraden [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] = 0
entspricht. |
Wie gehe ich solch eine Aufgabe an? Ich steh total an...
Was soll das überhaupt für eine Matrix sein? Wie soll eine Gerade gespiegelt werden?
Lg
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> Bestimmen Sie die Matrix, die einer Spiegelung an der
> Geraden [mm]3x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] = 0
> entspricht.
> Wie gehe ich solch eine Aufgabe an? Ich steh total an...
>
> Was soll das überhaupt für eine Matrix sein? Wie soll
> eine Gerade gespiegelt werden?
Hallo,
es soll hier keine Gerade gespiegelt werden, sondern es soll an einer Geraden gespiegelt werden, nämlich an der angegebenen.
Die Matrix, um welche es geht, ist die Darstellungsmatrix der Spiegelung.
Du bekommst sie, indem Du in ihre Spalten die Bilder der beiden Standardbasisvektoren schreibst.
Falls Dir dies nicht weiterhilft, solltest Du mal sagen, was in Deiner Vorlesung behandelt wurde
Gruß v. Angela
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Danke erstmal,
das Thema Spiegelung ist leider gar nicht behandelt worden, nur das Drehen von Matrizen.
Das einzige das ich in meinem Skript bezüglich Spiegelung finde ist folgendes:
Eine Spiegelung an der x-Achse wird durch die Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] beschrieben, für die det(A) = -1 gilt.
Was soll eigentlich gespiegelt werden? Ich hab da ein enormes Verständnisproblem. Der Vektorraum über der Geraden, soll unter die Gerade gespiegelt werden und man soll eine Matrix finden, die eben diese Spiegelung beschreibt?
Was sind die beiden Standardbasisvektoren?
Das sind doch [mm] (1,0)^{T} [/mm] und [mm] (0,1)^{T} [/mm] oder?
Was sind nun die Bilder davon?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Danke erstmal,
> das Thema Spiegelung ist leider gar nicht behandelt
> worden, nur das Drehen von Matrizen.
> Das einzige das ich in meinem Skript bezüglich Spiegelung
> finde ist folgendes:
> Eine Spiegelung an der x-Achse wird durch die Matrix A=
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & -1 }[/mm] beschrieben, für die det(A) = -1
> gilt.
Ja, allg. kann man die Spiegelung an einer (Ursprungs-)Geraden [mm]g[/mm] durch die Matrix [mm]\pmat{\cos(2\alpha)&\sin(2\alpha)\\
\sin(2\alpha)&-\cos(2\alpha)}[/mm] beschrieben werden, wobei [mm]\alpha[/mm] der Neigungswinkel ist:
Bezeichnet [mm]m[/mm] die Steigung der Geraden, so lässt sich [mm]\alpha[/mm] über die Beziehung [mm]m=\tan(\alpha)[/mm] bestimmen.
>
> Was soll eigentlich gespiegelt werden?
Beliebige Punkte (Vektoren) im [mm]\IR^2[/mm] sollen an der Geraden [mm]g[/mm] gespiegelt werden
> Ich hab da ein
> enormes Verständnisproblem. Der Vektorraum über der
> Geraden, soll unter die Gerade gespiegelt werden ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> und man
> soll eine Matrix finden, die eben diese Spiegelung
> beschreibt?
Ja, nenne die Spiegelung mal [mm]\varphi_g[/mm]; wenn du einen Vektor [mm]\vec{x}=\vektor{x_1\\
x_2}[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] hast, so kannst du den Bildvektor [mm]\varphi_g(\vec{x})=\vec{x'}=\vektor{x_1'\\
x_2'}[/mm] unter der Spiegelung mithilfe der Abbildungsmatrix bestimmen.
[mm]\varphi_g:\IR^2\to\IR^2: \vektor{x_1\\
x_2}\mapsto\varphi\left(\vektor{x_1\\
x_2}\right)=\pmat{\cos(2\alpha)&\sin(2\alpha)\\
\sin(2\alpha)&-\cos(2\alpha)}\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2}[/mm]
>
> Was sind die beiden Standardbasisvektoren?
> Das sind doch [mm](1,0)^{T}[/mm] und [mm](0,1)^{T}[/mm] oder?
Ja!
> Was sind nun die Bilder davon?
Das kannst du ausrechnen, wenn du die Abbildungsmatrix hast.
Du kannst ja auch eine Zeichnung machen und mal ablesen, ob das dann passt ...
>
> Lg
>
Gruß
schachuzipus
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Klasse, ich danke dir vielmals! Ist ja leichter als gedacht, wenn mans versteht :D.
Gut jetzt hab ich folgende Spiegelungsmatrix:
S = [mm] \pmat{cos(2arctan(\bruch{2}{3})) & sin(2arctan(\bruch{2}{3})) \\ sin(2arctan(\bruch{2}{3})) & -cos(2arctan(\bruch{2}{3})) }
[/mm]
Diese stimmt meiner Meinung nach.
Wie kann ich das jetzt etwas schöner anschreiben?
Laut wolframalpha entspricht [mm] cos(2arctan(\bruch{2}{3})) [/mm] gleich [mm] \bruch{5}{13}
[/mm]
Mit welchen Additionstheoremen kommt man darauf?
Vielen Dank!
Lg
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> Klasse, ich danke dir vielmals! Ist ja leichter als
> gedacht, wenn mans versteht :D.
>
> Gut jetzt hab ich folgende Spiegelungsmatrix:
>
> S = [mm]\pmat{cos(2arctan(\bruch{2}{3})) & sin(2arctan(\bruch{2}{3})) \\ sin(2arctan(\bruch{2}{3})) & -cos(2arctan(\bruch{2}{3})) }[/mm]
>
> Diese stimmt meiner Meinung nach.
Für den Steigungswinkel [mm] \alpha [/mm] der gegebenen Geraden gilt
aber nicht $\ [mm] tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{2}{3}$ [/mm] , sondern $\ [mm] tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] -\,\frac{3}{2}$ [/mm]
> Wie kann ich das jetzt etwas schöner anschreiben?
> Laut wolframalpha entspricht [mm]cos(2arctan(\bruch{2}{3}))[/mm]
> gleich [mm]\bruch{5}{13}[/mm]
>
> Mit welchen Additionstheoremen kommt man darauf?
>
> Vielen Dank!
> Lg
Ausgehend von obiger Spiegelungsmatrix wäre es wohl
am besten, wenn du zuerst ausgehend von $\ [mm] tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] -\,\frac{3}{2}$
[/mm]
auf [mm] tan(2\,\alpha) [/mm] schließt mittels
$\ [mm] tan(2\,\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{2*tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}$
[/mm]
Aus [mm] tan(2\,\alpha) [/mm] kannst du dann [mm] sin(2\,\alpha) [/mm] und [mm] cos(2\,\alpha) [/mm] berechnen.
Dazu genügen die Definitionen von sin, cos und tan am
rechtwinkligen Dreieck und der Satz von Pythagoras.
Du könntest aber gleich von Anfang an statt vom Tangens
von [mm] sin(\alpha) [/mm] und [mm] cos(\alpha) [/mm] ausgehen und die Doppelwinkelformeln
für diese Funktionen benützen.
Bemerkung:
Eigentlich finde ich es für dich jetzt, wo du dir das Thema
der Abbildungen mittels Matrizen erst erarbeiten musst,
nicht wirklich sinnvoll, von der (von schachuzipus) vorgege-
benen Spiegelungsmatrix auszugehen, in welcher - für
dich wohl kaum verständlich - plötzlich Funktionen des
Winkels [mm] $\red{2\,\alpha}$ [/mm] auftauchen.
Es ginge ja darum, genau dies zu verstehen und nicht einfach
unbesehen anzuwenden !
LG Al-Chw.
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Danke für deine Antwort.
Stimmt, der Neigungswinkel kann aber auch [mm] tan(\alpha) [/mm] = -2/3 sein oder?
Kannst du mir bitte erklären, weshalb der Winkel [mm] 2\alpha [/mm] vorkommt?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 So 01.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
von Anfang an, hat man dir gesagt, su sollst die 2 Vektoren (1,0) und (0,1)
an der Geraden spiegeln. mach dazu WIRKLICH !! die entsprechende Zeichnung und sieh dir die Winkel der 2 Bilder an, und die neuen Koordinaten sollten dann eben bei (1,0) [mm] (cos(2\alpha),sin(2\alpha)) [/mm] sein. das ist die Erklärung!
Gruss leduart
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Alles klar, vielen Dank euch allen!!
Lg
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