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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Spiegelung an einer Geraden
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Spiegelung an einer Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Di 05.02.2008
Autor: philipp-100

Hallo,
das ist jetzt meine erste Aufabe mit Spiegelung.
Die Aufgabenstellung lautet:
Stellen Sie die Spiegelung des Punktes [mm] x=\vektor{x1 \\ x2} [/mm]
an der Geraden [mm] g=\vektor{1 \\ t} [/mm] mit Hilfe einer linearen Abbildung und Translation da.

Da die Gerade parallel zu y Achse ist, ändert sich bei einer Spiegelung um den Ursprung, nur das Vorzeichen der x1 Koordinate von x.
Daraus habe ich mir die Matrix
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] gebastelt.
Das wäre dann ja laut Aufgabenstellung meine lineare Abbildung.

Das ganze muss jetzt noch um 2 auf der x Achse nach rechts verschoben werden.
Also

[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm]

das letzte wäre dann doch meine Translation oder?
Viele Grüße
Philipp



        
Bezug
Spiegelung an einer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Di 05.02.2008
Autor: Zneques

Hallo,

Das Problem von Drehungen und Spiegelungen mittels Matrizen ist, dass sie sich nur in/durch den 0-Punkt durchfürhren lassen. (da [mm] M*\vec{0}=\vec{0}) [/mm]
Deine Gerade geht aber nicht durch [mm] \vektor{0\\0}. [/mm]
Daher brauchst du nun die Translation, mit der du deine Spigelachse auf [mm] \vektor{0\\0} [/mm] verschiebst. Nach der Spiegelung muss das dann wieder korrigiert werden.
Also: [mm] -\vektor{t_1\\t_2}+\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }(\vektor{t_1\\t_2}+\vektor{x_1\\x_2}) [/mm]

Ciao.

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