Spiegelung an der Nebendiagonalen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Do 10.06.2004 | | Autor: | mausi |
Man zeige: Sei A ein quadratische Matrix und [mm] \tilde A [/mm], die Matrix, die aus A durch Spiegelung an
der Nebendiagonale hervorgeht, dann ist det(A) = det( [mm] \tilde A [/mm]).(Die Nebendiagonale wird durch die Einträge [mm] a_n_1,a_n_1_,_2,.....,a_1_,_n [/mm] gebildet)
ich hab kein Plan wie man da vorgeht,hat jemand eine Idee???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi,
> Man zeige: Sei A ein quadratische Matrix und [mm]\tilde A [/mm], die
> Matrix, die aus A durch Spiegelung an
> der Nebendiagonale hervorgeht, dann ist det(A) = det(
> [mm]\tilde A [/mm]).(Die Nebendiagonale wird durch die Einträge
> [mm] a_n_1,a_n_1_,_2,.....,a_1_,_n [/mm] gebildet)
> ich hab kein Plan wie man da vorgeht,hat jemand eine
> Idee???
hattet ihr denn schon den Laplace'schen Entwicklungssatz?
Falls ja, dann entwickle doch mal [mm] $\det [/mm] A$ nach der 1. Zeile und [mm] $\det\tilde [/mm] A$ nach der letzten Spalte und vergleiche die Ergebnisse.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
> Hallo mausi,
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> > Man zeige: Sei A ein quadratische Matrix und [mm]\tilde A [/mm],
> die
> > Matrix, die aus A durch Spiegelung an
> > der Nebendiagonale hervorgeht, dann ist det(A) = det(
>
> > [mm]\tilde A [/mm]).(Die Nebendiagonale wird durch die Einträge
>
> > [mm]a_n_1,a_n_1_,_2,.....,a_1_,_n[/mm] gebildet)
> > ich hab kein Plan wie man da vorgeht,hat jemand eine
>
> > Idee???
>
> hattet ihr denn schon den Laplace'schen Entwicklungssatz?
> Falls ja, dann entwickle doch mal [mm]\det A[/mm] nach der 1. Zeile
> und [mm]\det\tilde A[/mm] nach der letzten Spalte und vergleiche die
> Ergebnisse.
>
> Viele Grüße,
> Marc
>
Hallo,
mich würde hier mal die allgemeine Lsg. oder vielmehr der Beweis interessieren.
Nach Laplace habe ich das ganze schon mal für n=3 und n=4 durch gerechnet. Die neu entstandenen kleineren Determinaten sind dann auch an der Nebendiagonalen gespiegelt. D.h. es werden praktisch nur die Faktoren in den Diagonalen getauscht, was aber nichts am Wert des Produktes ändert.
Nun meine Frage, reichen da meine zwei Beispiele als Beweis aus oder kann man das noch irgendwie elegant aufschreiben?
Mfg Chriskoi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Der formale Beweis würde so gehen:
[mm]\det(\tilde{A})[/mm]
[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i,\sigma(i)}[/mm]
[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{n-\sigma(i)+1,n-i+1}[/mm]
[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{\sigma(i),i}[/mm]
(denn die Reihenfolge der [mm] $\green{n}$ [/mm] Faktoren darf man vertauschen)
[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]
(wiederum eine Vertauschung der [mm] $\green{n}$ [/mm] Faktoren)
[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma^{-1}) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]
(denn [mm] $\green{sig(\sigma^{-1}) = sig(\sigma)}$)
[/mm]
[mm]= \sum\limits_{\sigma^{-1} \in S_n} sig(\sigma^{-1}) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]
(denn die Reihenfolge der Summanden darf man ebenfalls vertauschen)
[mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma)\prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}[/mm]
(dies ist nur eine Umbenennung)
[mm]= \det(A)[/mm].
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
> Hallo!
>
> Der formale Beweis würde so gehen:
>
> [mm]\det(\tilde{A})[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i,\sigma(i)}[/mm]
>
>
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{n-\sigma(i)+1,n-i+1}[/mm]
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>
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{\sigma(i),i}[/mm]
>
>
> (denn die Reihenfolge der [mm]\green{n}[/mm] Faktoren darf man
> vertauschen)
>
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]
>
>
> (wiederum eine Vertauschung der [mm]\green{n}[/mm] Faktoren)
>
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma^{-1}) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]
>
>
> (denn [mm]\green{sig(\sigma^{-1}) = sig(\sigma)}[/mm])
>
> [mm]= \sum\limits_{\sigma^{-1} \in S_n} sig(\sigma^{-1}) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma^{-1}(i)}[/mm]
>
>
> (denn die Reihenfolge der Summanden darf man ebenfalls
> vertauschen)
>
> [mm]= \sum\limits_{\sigma \in S_n} sig(\sigma)\prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}[/mm]
>
>
> (dies ist nur eine Umbenennung)
>
> [mm]= \det(A)[/mm].
>
> Liebe Grüße
> Julius
>
>
>
Vielen Dank Julius
wenn ich richtig liege hat dieser Ansatz was mit der Leibnitz Formel und den Permutationen zu tun, richtig?
Ich hatte auch ein Idee in der Richtung angestrebt, bin aber irgendwie nicht weiter gekommen.
Also danke nochmal
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