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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 So 24.08.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sei V ein R-Vektorraum mit SKP (.) und erzeugter Norm ||.||
[mm] \Phi [/mm] : x -> x-2(x.a)a ist die Spiegeleung an der Hyperebene [mm] a^{\perp}
[/mm]
Behauptung:
diese Abbildung ist eine Bewegung!
Beweis:
[mm] ||\Phi [/mm] (x) - [mm] \Phi [/mm] (y)|| = ||x-2(x.a)a-y+2(x.a)a|| = ||x-y-2(x-y.a)a|| = [mm] ||\Phi [/mm] (x-y)||
und es genügt zu zeigen [mm] ||\Phi [/mm] (x)|| = ||x||
ok soweit ist mir alles klar, jetzt dass was ich nicht verstehe:
[mm] ||\Phi (x)||^2 [/mm] = (x-2(x.a)a.x-2(x.a)a = [mm] ||x||^2 [/mm] -4(x.a)(a.x) + [mm] 4(x.a)^2 [/mm] = [mm] ||x||^2
[/mm]
also bei mir kommt da leider was anderes raus:
[mm] ||\Phi (x)||^2 [/mm] = (x-2(x.a)a.x-2(x.a)a = [mm] ||x||^2 [/mm] -4(x.a)(a.x) + 4(x.a)(a.a) [mm] \not= ||x||^2
[/mm]
vielen dank für eure Hilfe!
gruß
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Hallo vivo,
> Hallo,
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> sei V ein R-Vektorraum mit SKP (.) und erzeugter Norm
> ||.||
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> [mm]\Phi[/mm] : x -> x-2(x.a)a ist die Spiegeleung an der
> Hyperebene [mm]a^{\perp}[/mm]
>
> Behauptung:
>
> diese Abbildung ist eine Bewegung!
>
> Beweis:
>
> [mm]||\Phi[/mm] (x) - [mm]\Phi[/mm] (y)|| = ||x-2(x.a)a-y+2(x.a)a|| =
> ||x-y-2(x-y.a)a|| = [mm]||\Phi[/mm] (x-y)||
> und es genügt zu zeigen [mm]||\Phi[/mm] (x)|| = ||x||
>
> ok soweit ist mir alles klar, jetzt dass was ich nicht
> verstehe:
>
> [mm]||\Phi (x)||^2[/mm] = (x-2(x.a)a.x-2(x.a)a = [mm]||x||^2[/mm]
> -4(x.a)(a.x) + [mm]4(x.a)^2[/mm] = [mm]||x||^2[/mm]
>
> also bei mir kommt da leider was anderes raus:
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> [mm]||\Phi (x)||^2[/mm] = (x-2(x.a)a.x-2(x.a)a = [mm]||x||^2[/mm]
> -4(x.a)(a.x) + 4(x.a)(a.a) [mm]\not= ||x||^2[/mm]
>
Das soll sicher so heißen:
[mm]||\Phi (x)||^2 = (x-2(x.a)a.x-2(x.a)a = ||x||^2-4(x.a)(a.x) + 4(x.a)\red{^{2}}(a.a) \not= ||x||^2[/mm]
Bei der obigen Gleichung ist davon ausgegangen worden, daß [mm]\vmat{a}=\wurzel{a.a}=1[/mm] ist.
Außerdem gilt, da das SKP symmetrisch ist:
[mm]x.a=a.x[/mm]
Dann stimmt die obige Gleichung.
> vielen dank für eure Hilfe!
> gruß
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 So 24.08.2008 | | Autor: | vivo |
achso ... danke !
gruß
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