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| Aufgabe | 3 Großkreise teilen die Sphäre in 8 Dreiecke(x=x') und zwar in 4 Paare jeweils gegenüberliegender gleich großer Dreiecke. Daraus folgt
x= [mm] \alpha+\beta+\gamma-\pi [/mm] |
Es sollte obige Gleichung bewiesen werden und dazu gab es noch beigefügtes Bild. Dann konnte man schließen das
x+A+B+C = [mm] 2\pi [/mm] ???
x+A [mm] =2\alpha [/mm] ???
x+B [mm] =2\beta [/mm] ???
x+C [mm] =2\gamma [/mm] ???
Also. Mir kommt zunächst mal komisch vor,das es 8 Kreise sind.Dann könnte ich noch nachvollziehen wieso man auf [mm] 2\pi [/mm] kommt,wenn das B' wäre,aber auf die anderen Winkel kann ich gar nicht verstehen.
Danach konnte man folgern,dass
[mm] 2x=-2\pi+2\alpha+2\beta+2\gamma [/mm] ????
ist und daraus folgt die Behauptung,dass ist mir dann wieder klar.
Die Stellen mit den Fragezeichen versteh ich eben nicht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> 3 Großkreise teilen die Sphäre in 8 Dreiecke(x=x') und
> zwar in 4 Paare jeweils gegenüberliegender gleich großer
> Dreiecke. Daraus folgt
>
> X= [mm]\alpha+\beta+\gamma-\pi[/mm]
> Es sollte obige Gleichung bewiesen werden und dazu gab es
> noch beigefügtes Bild. Dann konnte man schließen das
>
> X+A+B+C = [mm]2\pi[/mm] ???
>
> X+A [mm]=2\alpha[/mm] ???
> X+B [mm]=2\beta[/mm] ???
> X+C [mm]=2\gamma[/mm] ???
> Also. Mir kommt zunächst mal komisch vor,
> dass es 8 Kreise sind.
Es sind nicht 8 Kreise, sondern 8 Dreiecke !
Mach dir eine Zeichnung mit Kreide auf einem
Ball oder mit Filzstift auf einem Pingpongball !
> X+A+B+C = [mm]2\pi[/mm] ???
Hier geht es um Flächeninhalte. Betrachte
den Grosskreis durch A und B. Er halbiert
die Kugeloberfläche. Auf jeder Hälfte liegt
also ein Flächeninhalt von [mm] 2\,\pi, [/mm] wenn die
Kugel den Radius 1 hat. Auf der einen
Seite dieses Kreises liegen die Gebiete X, A,
B und C'. C' ist gleich gross wie C, also
folgt [mm] X+A+B+C=2\,\pi [/mm] .
> X+A [mm]=2\alpha[/mm] ???
Die Gebiete X und A fügen sich zu einem
"Zweieck" zusammen, das so aussieht wie
eines der Stücke der Schale einer Melone,
welche man in Schnitze zerteilt hat.
Den Flächeninhalt dieses Kugelzweiecks
kann man mit einer Dreisatzrechnung aus
der gesamten Kugeloberfläche berechnen.
Das Zweieck hat ja an beiden Ecken den
Winkel [mm] \alpha [/mm] und die geradlinige Verbindungs-
strecke seiner Ecken ist ein Kugeldurchmesser.
> X+B [mm]=2\beta[/mm] ???
> X+C [mm]=2\gamma[/mm] ???
Das geht analog wie für [mm] \alpha [/mm] .
Aus diesen 4 Gleichungen kann man dann
die Gleichung für die Winkelsumme [mm] \alpha+\beta+\gamma
[/mm]
im sphärischen Dreieck herleiten.
LG Al-Chwarizmi
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