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Die folgende DGL soll auf Lösbarkeit untersucht werden:
[mm] \lambda'' [/mm] + [mm] \bruch{g}{l}sin(\lambda) [/mm] = 0 (*)
Ich möchte also eine Lösung A* finden, die die Gleichung (*) löst.
Bitte NICHT die Kleinwinkelnäherung [mm] sin(\lambda) [/mm] approx [mm] \lambda [/mm] verwenden.
Ersetze ich nun [mm] sin(\lambda) [/mm] durch die Potenzreihe für sin wird das Schlamassel meiner Meinung nach schon sichtbar:
[mm] \lambda'' [/mm] + [mm] \bruch{g}{l}[\lambda [/mm] - [mm] \bruch{1}{3!}\lambda^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5!}\lambda^{5} [/mm] ...] = 0
Ist die oben genannte DGL überhaupt exakt lösbar? Wenn nein wie bweise ich sowas ? Ich habe versucht einen Einheitenvergleich zu machen, aber dieser würde eine exakte Lösung zulassen.
Wäre Dankbar für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Mo 11.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die folgende DGL soll auf Lösbarkeit untersucht werden:
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> [mm]\lambda''[/mm] + [mm]\bruch{g}{l}sin(\lambda)[/mm] = 0 (*)
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> Ich möchte also eine Lösung A* finden, die die Gleichung
> (*) löst.
> Bitte NICHT die Kleinwinkelnäherung [mm]sin(\lambda)[/mm] approx
> [mm]\lambda[/mm] verwenden.
>
> Ersetze ich nun [mm]sin(\lambda)[/mm] durch die Potenzreihe für sin
> wird das Schlamassel meiner Meinung nach schon sichtbar:
>
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> [mm]\lambda''[/mm] + [mm]\bruch{g}{l}[\lambda[/mm] - [mm]\bruch{1}{3!}\lambda^{3}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{5!}\lambda^{5}[/mm] ...] = 0
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> Ist die oben genannte DGL überhaupt exakt lösbar? Wenn nein
> wie bweise ich sowas ?
Die DGL ist exakt lösbar, die Lösung ergibt sich als elliptische Funktion.
Ich glaube, du fragst eher danach, ob du die Lösung durch dir bekannte Funktionen wie Logarithmen, trigonometrische und Exponentialfunktionen ausdrücken kannst. Die Antwort darauf lautet: nein. Diese Aussage zu beweisen, ist überhaupt nicht einfach.
Zur Lösungsmethode: am einfachsten ist es, ein erstes Integral zu finden. Da es sich hier um ein einfaches physikalisches System handelt, ist das erste Integral nichts anderes als der Energieerhaltungssatz. Um das zu zeigen, multiplizierst du die DGL mit [mm] $\lambda'$ [/mm] und integrierst einmal:
[mm] \lambda' * \lambda'' + \lambda'*\bruch{g}{l}\sin\lambda = 0[/mm]
oder:
[mm] \left(\bruch{1}{2} \lambda'^2\right)' - \bruch{g}{l} \left(\cos\lambda)' = 0 [/mm]
Integration ergibt:
[mm] \bruch{1}{2} \lambda'^2 - \bruch{g}{l}\cos\lambda = C [/mm]
Da steht also fast der Energieerhaltungssatz für dieses System, der lautet nämlich
[mm] \bruch{m}{2} (l\lambda')^2 + mgl (1-\cos\lambda) = E [/mm]
Damit hast du eine DGL 1. Ordnung, die du durch Trennung der Variablen lösen kannst:
[mm] \lambda' = \wurzel{2(C+\bruch{g}{l}\cos\lambda)} [/mm]
oder:
[mm] \integral \bruch{d\lambda}{\wurzel{2(C+\bruch{g}{l}\cos\lambda)}} = t [/mm]
Das ist ein elliptisches Integral, die dazugehörige Umkehrfunktion eine elliptische Funktion.
(In der Kleinwinkelnäherung [mm] $\cos\lambda\approx [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{2}\lambda^2$ [/mm] wird daraus ein Integral, das auf den Arcussinus führt.)
Es gibt im Netz einige ausführliche Betrachtungen des Pendels, zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier.
Viele Grüße
Rainer
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