Spezielle Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Di 29.04.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Funktion
f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} x^2* cos(\bruch{1}{x}), & x \not= 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}
[/mm]
in x = 0 stetig, differenzierbar, stetig differenzierbar oder gar zweimal differenzierbar ist. Plotten Sie den Graphen von f, sowie – falls vorhanden – die Graphen der Ableitungsfunktionen f´ und f´´. Wählen Sie dafür geeignete Intervalle um Null, um “aussagekräftige” Plots zu erhalten. |
f (x= 0) ist stetig, wenn es defferenzierbar ist.
f´(x) = [mm] \bruch{f(x\not=0) - f(0)}{x\not=0 - x=0} [/mm] = [mm] \bruch{x^2* cos(\bruch{1}{x}) - 0}{x\not=0 - x = 0}
[/mm]
ich muss doch hier x gegen 0 laufen lassen, um zu zeigen, dass es deferenzierbar ist oder? aber dann würde ich ja durch 0 teilen, da x im nenner steht? wie mache ich das jetzt? ich brächte einen tipp bitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Di 29.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie, ob die Funktion
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> f: [mm]\IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} x^2* cos(\bruch{1}{x}), & x \not= 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}[/mm]
>
> in x = 0 stetig, differenzierbar, stetig differenzierbar
> oder gar zweimal differenzierbar ist. Plotten Sie den
> Graphen von f, sowie – falls vorhanden – die Graphen
> der Ableitungsfunktionen f´ und f´´. Wählen Sie dafür
> geeignete Intervalle um Null, um “aussagekräftige”
> Plots zu erhalten.
>
>
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>
> f (x= 0) ist stetig, wenn es defferenzierbar ist.
>
> f´(x) = [mm]\bruch{f(x\not=0) - f(0)}{x\not=0 - x=0}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^2* cos(\bruch{1}{x}) - 0}{x\not=0 - x = 0}[/mm]
Was ist das für ein Durcheinander ? Wenn es um Differenzierbarkeit von f in 0 geht, so untersuche ob
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
existiert.
FRED
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> ich muss doch hier x gegen 0 laufen lassen, um zu zeigen,
> dass es deferenzierbar ist oder? aber dann würde ich ja
> durch 0 teilen, da x im nenner steht? wie mache ich das
> jetzt? ich brächte einen tipp bitte
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Di 29.04.2014 | | Autor: | needmath |
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \bruch{x^2 * cos(\bruch{1}{x})}{x} [/mm] = x cos(ln(x))
es ist nicht deferenzierbar, da ln(0) nicht definiert ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Di 29.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] = [mm]\bruch{x^2 * cos(\bruch{1}{x})}{x}[/mm]
> = x cos(ln(x))
>
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>
> es ist nicht deferenzierbar, da ln(0) nicht definiert ist
> ?
Unsinn ! Nach dem ersten "=" fehlt [mm] \limes_{x\rightarrow 0}. [/mm] Das zweite "=" ist völliger Unfug.
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0}x*cos(1/x) [/mm]
Nun benutze, dass $|cos(1/x)| [mm] \le [/mm] 1$ ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Di 29.04.2014 | | Autor: | needmath |
der funktionswert wird mal größer, mal kleiner. da es cosinus ist, pendelt es zwischen 1 und -1. es gibt also kein grenzwert
das kann man hier nur zeigen wenn man mehrere werte für x einsetzt oder?
kann f für x=0 stetig sein, wenn es nicht differenzierbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Di 29.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo needmath,
> der funktionswert wird mal größer, mal kleiner. da es
> cosinus ist, pendelt es zwischen 1 und -1. es gibt also
> kein grenzwert
Nein.
> das kann man hier nur zeigen wenn man mehrere werte für x
> einsetzt oder?
Nein.
> kann f für x=0 stetig sein, wenn es nicht differenzierbar
> ist?
Nein, das ist hier nicht der Fall, aber das kann passieren - Stichwort: Betragsfunktion.
Das Produkt einer beschränkten Folge und einer Nullfolge ist eine Nullfolge.
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Di 29.04.2014 | | Autor: | fred97 |
|xcos(1/x)| [mm] \le [/mm] |x|
Was treibt also xcos(1/x) für x [mm] \to [/mm] 0 ?
FRED
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