Spektrum inverser Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Di 25.01.2011 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei X ein normierter Raum und [mm] T\in [/mm] L(X) ein (stetig) invertierbarer Operator. Dann gilt
[mm] \sigma(T^{-1}) [/mm] = [mm] \{\bruch{1}{\lambda}: \lambda\in\sigma(T)\} [/mm] |
Hallo,
mir fehlt es hier leider schon an Ansätzen.
Ich habe schon versucht [mm] (\lambda*I-T)x=y [/mm] einfach umzustellen. Dabei habe ich 1.) durch [mm] \lambda [/mm] geteilt, 2.) mit [mm] (I-\bruch{1}{\lambda}T)^{-1} [/mm] multipliziert und dann 3.) versucht die Neumannsche Reihe zu verwenden.
Als Ergebnis hatte ich dann: [mm] x=(\sum_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\lambda^{n}}T^{n})\bruch{1}{\lambda}y=(\sum_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\lambda^{n+1}}T^{n})y=(\sum_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{\lambda^{n}}T^{n})T^{-1}y=((I-\bruch{1}{\lambda}T)^{-1}T^{-1}-\bruch{1}{\lambda}*I)y
[/mm]
Eigentlich möchte ich aber auf [mm] x=(\bruch{1}{\lambda}*I-T^{-1})y.
[/mm]
Stimmt die Grundidee wenigstens? Wenn ja, wie komme ich in meiner Rechnung weiter? Falls nein, wie muss ich sonst rangehen? Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Toll, endlich mal wieder eine Frage aus der Spektraltheorie !
Mit der Neumannschen Reihe wird das nix, weil Du deren Konvergenz nicht garantieren kannst.
Ich mach Dir mal eine Inklusion vor (die andere geht analog)
Sei [mm] $\mu \in \sigma(T^{-1})$. [/mm] Annahme : [mm] 1/\mu [/mm] gehört nicht zum Spektrum von T
Dann ist also [mm] \bruch{1}{\mu}I-T [/mm] in L(X) invertierbar. Damit ist auch [mm] $I-\mu [/mm] T$ in L(X) inv. (Mult. mit [mm] \mu \ne [/mm] 0)
Wenn man den Operator [mm] $I-\mu [/mm] T$ mit [mm] T^{-1} [/mm] multipliziert , erhält man die Invertierbarkeit von [mm] $T^{-1}- \mu [/mm] I$
Das ist aber ein Widerspruch, denn [mm] $\mu \in \sigma(T^{-1})$.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mi 26.01.2011 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei X ein Banachraum, [mm] T\in [/mm] L(X) und [mm] \lambda\in\sigma_{c}(T) [/mm] ein Wert aus dem kontinuierlichen Spektrum. Zeigen Sie, dass es eine Folge [mm] (x_n)\in [/mm] X gibt mit [mm] \|x_n\| [/mm] = 1 fur alle n [mm] \in \IN [/mm] und
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\|\lambda x_n -Tx_n\|=0. [/mm] |
Hallo Fred,
danke für deine Hilfe bei der letzten Aufgabe. Den Beweis finde ich echt super :)
Nun zu dieser Aufgabe:
Da ich hier wieder Probleme hatte, einen Ansatz zu finden, habe ich im Heuser von 1992 nachgeschlagen und bin auf Seite 474 ganz unten (96.12) fündig geworden. Doch die hierbei verwendeten Sätze hatte ich so leider nicht gehabt.
Zum Beispiel lautet unser Satz von der stetigen Inversen:
Seien X und Y Banachräume und [mm] T\in [/mm] L(X,Y). Dann gilt: T bijektiv [mm] \Rightarrow T^{-1}\in [/mm] L(Y,X).
Im Buch steht dagegen: T [mm] injektiv\Rightarrow T^{-1} [/mm] ist von selbst stetig (Satz 39.4).
Damit kann ich die Argumentation aus dem Buch nicht wirklich verwenden, da mir die Voraussetzungen fehlen. Gibt es hierfür vielleicht noch eine andere Methode?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein Banachraum, [mm]T\in[/mm] L(X) und [mm]\lambda\in\sigma_{c}(T)[/mm]
> ein Wert aus dem kontinuierlichen Spektrum. Zeigen Sie,
> dass es eine Folge [mm](x_n)\in[/mm] X gibt mit [mm]\|x_n\|[/mm] = 1 fur
> alle n [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\|\lambda x_n -Tx_n\|=0.[/mm]
> Hallo
> Fred,
>
> danke für deine Hilfe bei der letzten Aufgabe. Den Beweis
> finde ich echt super :)
>
> Nun zu dieser Aufgabe:
>
> Da ich hier wieder Probleme hatte, einen Ansatz zu finden,
> habe ich im Heuser von 1992 nachgeschlagen und bin auf
> Seite 474 ganz unten (96.12) fündig geworden. Doch die
> hierbei verwendeten Sätze hatte ich so leider nicht
> gehabt.
>
> Zum Beispiel lautet unser Satz von der stetigen Inversen:
>
> Seien X und Y Banachräume und [mm]T\in[/mm] L(X,Y). Dann gilt: T
> bijektiv [mm]\Rightarrow T^{-1}\in[/mm] L(Y,X).
>
> Im Buch steht dagegen: T [mm]injektiv\Rightarrow T^{-1}[/mm] ist von
> selbst stetig (Satz 39.4).
Du mußt denSatz genau lesen !
Da steht: " Ist die stetige lineare Abbildung A des Banachraumes E auf den Banachraum F injektiv, so muß die Inverse [mm] A^{-1} [/mm] von selbst stetig sein".
"auf" den Bannachraum F bedeutet: A(E)=F, A ist also surjektiv.
Damit ist dieser Satz genau Eure Version des Satzes von der stetigen Inversen.
FRED
>
> Damit kann ich die Argumentation aus dem Buch nicht
> wirklich verwenden, da mir die Voraussetzungen fehlen. Gibt
> es hierfür vielleicht noch eine andere Methode?
>
> Gruß
> DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 26.01.2011 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Fred,
dass "auf" surjektiv bedeutet, war mir nicht bewusst. Danke für diese Erkenntnis. Dass [mm] (\lambda*I-T)^{-1} [/mm] existiert, aber nicht stetig ist, habe ich nun verstanden.
Damit ergibt sich dann der Rest. Ich musste nur noch von Satz 10.5 die Umkehrung nachrechnen, deshalb hat es mit der Antwort etwas gedauert :)
Also nochmals vielen Dank für alles.
Gruß
DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:59 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> dass "auf" surjektiv bedeutet, war mir nicht bewusst.
Merke Dir das gut ! Falls Du mal englische Literatur vor Dir hast: diese "auf" ist im englischen : "onto"
FRED
> Danke
> für diese Erkenntnis. Dass [mm](\lambda*I-T)^{-1}[/mm] existiert,
> aber nicht stetig ist, habe ich nun verstanden.
> Damit ergibt sich dann der Rest. Ich musste nur noch von
> Satz 10.5 die Umkehrung nachrechnen, deshalb hat es mit der
> Antwort etwas gedauert :)
> Also nochmals vielen Dank für alles.
>
> Gruß
> DerGraf
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