Spannungsverteilung in Scheibe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:27 Di 27.10.2009 | | Autor: | hagger |
Hallo.
Ich habe eine Frage, die im Zusammenhang mit der Berechnung der Spannungsverteilung in einer isotropen Scheibe steht (Ich will innerhalb meiner Diplomarbeit unter anderem so eine analytische Berechnung durchführen).
Nach Lekhnitskii bzw. De Jong kann die Spannung in einer isotropen Scheibe mit Loch (Radius=R) - beispielsweise in x-Richtung bestimmt werden durch
[mm] \begin{equation}
\sigma_x = 2 Re(\mu_1^2 \varphi'(z_1) + \mu_2^2 \psi'(z_2)) \quad .
\end{equation}
[/mm]
[mm] \medskip
[/mm]
[mm] ($\varphi(z_1)$ [/mm] und [mm] $\psi(z_2)$ [/mm] sind von [mm] $\zeta$ [/mm] abhängige Funktionen)
Die relevanten Variablen lassen sich wie folgt berechnen:
[mm] \begin{equation}
z_k = x + \mu_k \cdot y \qquad k=1,2
\end{equation}
[/mm]
[mm] \medskip
[/mm]
[mm] $\mu_1$ [/mm] und [mm] $\mu_2$ [/mm] werden definiert durch
[mm] \begin{equation}
\mu_1 = \sqrt{\frac{r-a}{2}} + \mathrm i \cdot \sqrt{\frac{r+a}{2}}
\end{equation}
[/mm]
[mm] \begin{equation}
\mu_2 = - \sqrt{\frac{r-a}{2}} + \mathrm i \cdot \sqrt{\frac{r+a}{2}}
\end{equation}
[/mm]
[mm] \medskip
[/mm]
$r$ und $a$ sind reele Zahlen (Berechnen sich aus Einträgen der Nachgiebigkeitsmatrix des Werkstoffs).
[mm] \medskip
[/mm]
Es wird nun eine Koordinatentransformation in die komplexe Ebene (Konforme Abbildung) in folgender Form eingeführt (siehe auch Abbildung):
[mm] \begin{equation}
\zeta_k = \frac{z_k \pm \sqrt{z_k^2-R^2(1+\mu_k^2)}}{R(1-\mathrm i \cdot \mu_k)} \qquad k=1,2 \label{prob}
\end{equation}
[/mm]
[mm] \medskip
[/mm]
Obige Gleichung stellt das Problem dar: Was entscheidet, ob der Zähler des Bruchs von [mm] $\zeta_k$ ($\displaystyle \pm \sqrt{z_k^2-R^2(1+\mu_k^2)}$) [/mm] mit einer positiven oder negativen Wurzel versehen wird?
[mm] \medskip
[/mm]
Im Verlauf des Berechnungsgangs kann nur eine Lösung von [mm] $\zeta_k$ [/mm] weiterverwendet werden (Fallabhängig - warscheinlich je nach x- und y-Koordinate des betrachteten Punktes auf der Scheibe).
Die Funktion unter der Wurzel [mm] $\displaystyle z_k^2-R^2(1+\mu_k^2)$ [/mm] besitzt eine Unstetigkeit - eventuell hat es damit etwas zu tun.
Leider bin ich auch nach mehrtägigem Probieren und Transformieren zu keiner Lösung gelangt...
In der Literatur wurde immer nur die Formel für [mm] $\zeta_k$ [/mm] in genannter Form angegeben, ohne näher darauf einzugehen.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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