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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mi 01.07.2015 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | | Sei [mm] \Omaga [/mm] offene Punktmenge des [mm] \IR^n [/mm] und f [mm] \in L^2(\Omega). [/mm] Zeige, dass [mm] \phi:H^{1,2} \to \IR [/mm] mit [mm] \phi(v) [/mm] = (v, [mm] f)_{H^{1,2}} [/mm] ein stetiges, lineares Funktional ist. |
Hi zusammen,
das ist eine sehr kurze Sache, aber es fällt mir nichts zur Beschränktheit ein:
(1) Die Linearität ist klar, da das Skalarprod. bilinear ist.
(2) Stetigkeit zeige ich über Beschränktheit.
[mm] |\phi(v)| [/mm] = |(v, [mm] f)_{H^{1,2}}| [/mm]
[mm] \leq \|v\|_{H^{1,2}} \cdot \|f\|_{H^{1,2}} [/mm] nach Cauchy-Schwarz
= [mm] (\|f\|_{L^2} [/mm] + [mm] \|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}
[/mm]
[mm] \leq [/mm] (C + [mm] \|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}.
[/mm]
Wie komme ich auf sowas wie [mm] |\phi(v)| \leq \tilde{C}\|v\|_{H^{1,2}}, [/mm] das [mm] \|\nabla f\|_{L^2}) [/mm] stört da noch...
Viele Dank schonmal fürs Helfen und viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Do 02.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omaga[/mm] offene Punktmenge des [mm]\IR^n[/mm] und f [mm]\in L^2(\Omega).[/mm]
> Zeige, dass [mm]\phi:H^{1,2} \to \IR[/mm] mit [mm]\phi(v)[/mm] = (v,
> [mm]f)_{H^{1,2}}[/mm] ein stetiges, lineares Funktional ist.
> Hi zusammen,
>
> das ist eine sehr kurze Sache, aber es fällt mir nichts
> zur Beschränktheit ein:
>
> (1) Die Linearität ist klar, da das Skalarprod. bilinear
> ist.
>
> (2) Stetigkeit zeige ich über Beschränktheit.
> [mm]|\phi(v)|[/mm] = |(v, [mm]f)_{H^{1,2}}|[/mm]
> [mm]\leq \|v\|_{H^{1,2}} \cdot \|f\|_{H^{1,2}}[/mm] nach
> Cauchy-Schwarz
> = [mm](\|f\|_{L^2}[/mm] + [mm]\|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}[/mm]
> [mm]\leq[/mm]
> (C + [mm]\|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}.[/mm]
>
> Wie komme ich auf sowas wie [mm]|\phi(v)| \leq \tilde{C}\|v\|_{H^{1,2}},[/mm]
Das hast Du doch !!!!
Oben hast Du geschrieben:
[mm] |\phi(v)| [/mm] = [mm] |(v,f)_{H^{1,2}}|\leq \|v\|_{H^{1,2}} \cdot \|f\|_{H^{1,2}}
[/mm]
[mm] \tilde{C}:=\|f\|_{H^{1,2}} [/mm] leistet das Gewünschte !
FRED
> das [mm]\|\nabla f\|_{L^2})[/mm] stört da noch...
>
> Viele Dank schonmal fürs Helfen und viele Grüße!
>
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