Sobolevraum - Zusammenhängend < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle.
Sei [mm] $\Omega\subset\IR^{d}$ [/mm] ein Gebiet mit $d=1,2,3$.
Frage: Ist der Sobolevraum [mm] $H_0^1(\Omega)$ [/mm] zusammenhängend?
Es wäre gut, wenn mir jemand die Frage beantworten könnte.
Gruß
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Hi,
> Hallo an alle.
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> Sei [mm]\Omega\subset\IR^{d}[/mm] ein Gebiet mit [mm]d=1,2,3[/mm].
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> Frage: Ist der Sobolevraum [mm]H_0^1(\Omega)[/mm] zusammenhängend?
>
eine 'dumme' gegenfrage: ist nicht eigentlich jeder R- oder C-vektorraum zusammenhaengend? nimm zwei elemente [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$, [/mm] dann kannst du sie doch immer durch die konvex-kombination [mm] $t\cdot v_1+(1-t)\cdot v_2\;, t\in[0,1]$ [/mm] verbinden.
Nach den VR-axiomen liegt diese gerade von [mm] v_1 [/mm] nach [mm] v_2 [/mm] doch immer im VR.
gruss
matthias
> Es wäre gut, wenn mir jemand die Frage beantworten könnte.
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:06 Do 27.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
Zusammenhang ist eine topologische Eigenschaft, d.h. man kann bei einem einfachen VR nicht davon sprechen, weil man erst eine Topologie auf diesem VR definieren muss.
Man kann aber deine Idee wahrscheinlich sehr gut anpassen; ich versuch's mal ^^
Ich hab zwar keine Ahnung von Sobolevräumen (ich weiss ja nicht mal was [mm] H_0^1(\Omega) [/mm] bedeutet), aber da es unter anderem ein VR ist, könnte man doch in einem Widerspruchsbeweis sagen, dass wenn es zwei disjunkte, offene Teilmengen U und V gäbe mit U [mm] \cup [/mm] V = [mm] H_0^1(\Omega), [/mm] dann könnte ich ein [mm] u\in [/mm] U und ein [mm] v\in [/mm] V wählen. Da [mm] H_0^1(\Omega) [/mm] ein VR ist, dann müsste die komplette Verbindungsstrecke [mm] t\cdot u+(1-t)\cdot v\;, t\in[0,1] [/mm] auch in [mm] H_0^1(\Omega) [/mm] liegen, was aber ein Widerspruch dazu ist, dass U und V offen und disjunkt sind und zusammen ganz [mm] H_0^1(\Omega) [/mm] ergeben.
Es wäre nicht schlecht, wenn sich jemand anders dazu äußern könnte um sicherzustellen, dass ich keinen Müll erzähle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:09 Do 27.03.2008 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
> Zusammenhang ist eine topologische Eigenschaft, d.h. man
> kann bei einem einfachen VR nicht davon sprechen, weil man
> erst eine Topologie auf diesem VR definieren muss.
>
Ok, ich haette genauer sagen sollen, auf jedem R- oder C-VR, der mit einer topologie versehen ist.  Da die sobolevraeume banachraeume sind, also insbesondere metrisch, ist diese eigenschaft hier offensichtlich erfuellt.
gruss
matthias
> Man kann aber deine Idee wahrscheinlich sehr gut anpassen;
> ich versuch's mal ^^
>
> Ich hab zwar keine Ahnung von Sobolevräumen (ich weiss ja
> nicht mal was [mm]H_0^1(\Omega)[/mm] bedeutet), aber da es unter
> anderem ein VR ist, könnte man doch in einem
> Widerspruchsbeweis sagen, dass wenn es zwei disjunkte,
> offene Teilmengen U und V gäbe mit U [mm]\cup[/mm] V =
> [mm]H_0^1(\Omega),[/mm] dann könnte ich ein [mm]u\in[/mm] U und ein [mm]v\in[/mm] V
> wählen. Da [mm]H_0^1(\Omega)[/mm] ein VR ist, dann müsste die
> komplette Verbindungsstrecke [mm]t\cdot u+(1-t)\cdot v\;, t\in[0,1][/mm]
> auch in [mm]H_0^1(\Omega)[/mm] liegen, was aber ein Widerspruch dazu
> ist, dass U und V offen und disjunkt sind und zusammen ganz
> [mm]H_0^1(\Omega)[/mm] ergeben.
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> Es wäre nicht schlecht, wenn sich jemand anders dazu äußern
> könnte um sicherzustellen, dass ich keinen Müll erzähle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:36 Do 27.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Ich danke euch beiden (MatthiasKr und Merle23) für eure Ideen und Erklärungen. Das dürfte mir weitergeholfen haben.
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