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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:41 Di 04.01.2011 | | Autor: | max.p |
| Aufgabe | Hallo.
Ich könnte etwas Hilfe bei folgendem Problem gebrauchen:
Es sei [mm]H^{1/2}(\partial\Omega) = \{u|_{\partial\Omega} \ | \ u\in H^1(\Omega) \}[/mm] (also die Spuren von H1 Funktionen) mit der Norm [mm]\| g \|_{H^{1/2}(\partial\Omega)} = inf \{\| u \|_{H^1(\Omega)} \ | \ u\in H^1(\Omega), u|_{\partial\Omega} = g \}[/mm], [mm]B_r \subset \IR^n[/mm] die Kugel mit Radius r um 0, n=2 oder n=3.
Was ich zeigen will ist:
Zu [mm]u \in H^{1/2}(\partial B_2)[/mm] gibt es eine Funktion [mm]v \in H^{2}(B_2)[/mm] mit
1) auf [mm]\partial B_2[/mm] gilt [mm]v=0[/mm] und [mm]\partial v/\partial n = u[/mm]
2) [mm]\| v \|_{H^2(B_2)} \leq C \| u \|_{H^{1/2}(\partial B_2)}[/mm]
3) [mm]v=0[/mm] in [mm]B_1[/mm]
Mein erster Gedanke war, v über eine Faltung mit einer passenden Funktion zu definieren. Nur fällt mir keine Funktion für die Faltung ein.
Ich wäre dankbar für ein bißchen Hilfe,
Max
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
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Hallo,
eine Idee wäre vielleicht, Existenzaussagen und a-priori ABschätzungen von geeigneten partiellen Diffgleichungen heranzuziehen. Du hast ja Randbedingungen auf [mm] $\partial B_2$ [/mm] vorgegeben. Wenn Du nun zB. im inneren der Kugel die harmonische- oder biharmonische Gleichung forderst, erhältst Du automatisch Existenzaussagen und Abschätzungen für die Lösung durch die (Rand-)Daten.
Dann könnte man eventuell zeigen, dass auch die Randbedingung auf [mm] $\partial B_1$ [/mm] erfüllt ist oder durch Freiheitsgrade erzwungen werden kann.
Hängt davon ab, was ihr im Vorfeld für Techniken besprochen habt.
Gruss
Matthias
Hallo,
meine Antwort kommt spät und lösen kann ich dein Problem auch nicht.
Aber ich denke, Du brauchst wohl
> Hallo.
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> Ich könnte etwas Hilfe bei folgendem Problem gebrauchen:
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> Es sei [mm]H^{1/2}(\partial\Omega) = \{u|_{\partial\Omega} \ | \ u\in H^1(\Omega) \}[/mm]
> (also die Spuren von H1 Funktionen) mit der Norm [mm]\| g \|_{H^{1/2}(\partial\Omega)} = inf \{\| u \|_{H^1(\Omega)} \ | \ u\in H^1(\Omega), u|_{\partial\Omega} = g \}[/mm],
> [mm]B_r \subset \IR^n[/mm] die Kugel mit Radius r um 0, n=2 oder
> n=3.
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> Was ich zeigen will ist:
>
> Zu [mm]u \in H^{1/2}(\partial B_2)[/mm] gibt es eine Funktion [mm]v \in H^{2}(B_2)[/mm]
> mit
> 1) auf [mm]\partial B_2[/mm] gilt [mm]v=0[/mm] und [mm]\partial v/\partial n = u[/mm]
>
> 2) [mm]\| v \|_{H^2(B_2)} \leq C \| u \|_{H^{1/2}(\partial B_2)}[/mm]
>
> 3) [mm]v=0[/mm] in [mm]B_1[/mm]
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> Mein erster Gedanke war, v über eine Faltung mit einer
> passenden Funktion zu definieren. Nur fällt mir keine
> Funktion für die Faltung ein.
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> Ich wäre dankbar für ein bißchen Hilfe,
> Max
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Mi 19.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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